СТЕРЕОГРАФИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ

Значение СТЕРЕОГРАФИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ в математической энциклопедии:

соответствие между точками сферы и плоскости, получаемое следующим образом; из нек-рой точки Sна сфере (центра С. п.) другие точки сферы проектируются лучами на плоскость, перпендикулярную радиусу сферы S0 (на рис. эта плоскость экваториальная, ее можно проводить и через конец S₁ диаметра SS₁). При этом каждая точка Мна сфере переходит в нек-рую определенную точку М' на плоскости. Если условиться считать, что точке Sсоответствует бесконечно удаленная точка плоскости, то соответствие точек сферы и плоскости будет взаимно однозначным. Основные свойства С. п.: 1) окружностям на сфере соответствуют окружности на плоскости, причем окружностям, проходящим через центр С. п., соответствуют окружности, проходящие через бесконечно удаленную точку, т. е. прямые; 2) при С. п. углы между линиями сохраняются.

Если точку трехмерного пространства задавать однородными координатами x₁, х₂, х₃, х₄ и считать, что уравнение сферы а точку плоскости - декартовыми прямоугольными координатами то связь между координатами точек сферы и плоскости задается формулами

Координаты x₁, х₂, х₃, х₄ можно рассматривать как координаты точки на плоскости (тетрациклические координаты).
С. <п. устанавливает соответствие не только между точками сферы и плоскости, но и между точками вне сферы и окружностями на плоскости. Для точки вне сферы полярная плоскость пересекает сферу по окружности. При С. п. эта окружность переходит в окружность на плоскости, к-рая и рассматривается как С. п. точки вне сферы на плоскость. Координаты точки трехмерного пространства рассматриваются как тетрациклич. координаты окружности на плоскость. Точкам внутри сферы при С. п. соответствуют мнимые образы на плоскости.
С. п. можно рассматривать и более общо: вместо сферы брать любую поверхность 2-го порядка. Это проектирование называется также отображением Гессе.
В многомерном случае С. п.- проекция точек евклидова пространства Е _п+1 на пространство E_n, дополненное одной бесконечно удаленной точкой, из точки Рсферы S_n в Е _п+1, когда Рне принадлежит Е _n. Все рассуждения и формулы аналогичны приведенным выше.
При помощи С. п. расширенная комплексная плоскость отображается взаимно однозначно и конформно на Римана сферу.

Лит.:[1] Клейн Ф., Высшая геометрия, пер. с нем., М.-Л., 1939; [2] В1asсhkе W., Vorlesungen uber Differentlal-Geometrie, Bd 3, В., 1929; [3] Бушманова Г. В., Норден А. П., Элементы конформной геометрии, Казань, 1972.
Г. В. Бушманова.