БОЗЕ - ЭЙНШТЕЙНА СТАТИСТИКА

Значение БОЗЕ - ЭЙНШТЕЙНА СТАТИСТИКА в математической энциклопедии:

Возе статистика,- квантовая статистика, применяемая к системам тождественных частиц с целым спином (0,1, 2, ... в единицах ). Предложена Ш. Бозе (S. Bose) и А. Эйнштейном (A. Einstein) в 1924. Согласно этой статистике, в каждом квантовом состоянии может находиться произвольное число частиц. В. Паули (W. Pauli) доказал, что тип квантовой статистики однозначно связан со спином частиц, так как совокупности частиц с целым спиаом подчиняются Б. - Э. с., а с полуцелым спином - Ферми - Дирака статистике.

Состояние системы многих частиц в квантовой механике определяется волновой функцией, к-рая в случае тождественных частиц может быть либо симметричной по отношению к перестановкам любой пары частиц (для частиц с целым спином), либо антисимметричной (для частиц с полуцелым спином). Для системы частиц, подчиняющихся В. -Э. с., состояния описываются симметричными волновыми функциями, что является другой, эквивалентной формулировкой Б. -Э. с. Системы из болвдного числа частиц, подчиняющихся Б. -Э. с., наз. (Системами Бозе, например газом Бозе.

Для идеального квантового газа, т. е. для системы тождественных частиц с массой т без взаимодействия, находящихся в кубе объема квантовые одно-частичные уровни энергии равны

где p - собственные значения импульса отдельной частицы: - вектор с целочисленными (положительными, отрицательными или равными нулю) компонентами.

Квантовое состояние идеального газа определяется заданием совокупности чисел заполнения уровней где каждое p указывает число частиц в одночас-тичном состоянии . Для систем Бозе

Для больших систем уровни энергии расположены очень плотно и стремятся к непрерывному спектру при Пусть уровни сгруппированы по малым ячейкам, содержащим уровней в ячейке. Каждой ячейке соответствует средняя энергия число предполагается очень большим. Состояние системы определяется набором где есть сумма по уровням ячейки. Статистический вес, т. е. число различных распределений частиц по ячейкам, равен

и определяет вероятность распределения частиц по ячейкам, характеризуемым числами заполнения .

Наиболее вероятное распределение, соответствующее заданной энергии Еи числу частиц N:

находится из экстремума (1) при дополнительных условиях (2). Соответствующие средние числа заполнения равны

где - химич. потенциал - постоянная Больцмана (универсальная постоянная эрг/град), Т - абсолютная температура. Величины и m находятся из условии (2).

Энтропия системы определяется логарифмом статистич. веса (1) для наиболее вероятного распределения (3):

По энтропии и средней энергии можно найти и другие термодинамич. функции.

Общий подход к Б. -Э. <с. состоит в применении большого канонич. Гиббса распределения для вероятности заполнения квантового уровня пвсей системы

где

- статистич. сумма,- уровни энергии всей системы. Напр., для идеального газа Бозе

и из (5), (6) может быть получена для чисел заполнения формула (3), а для энтропии - формула (4) без использования комбинаторики. Такой подход особенно важен для неидеальных систем Бозе, когда применение Б.-Э. с. не сводится к простой комбинаторной задаче. В этом случае требования Б. -Э. <с. могут быть удовлетворены, если для оператора Гамильтона Ниспользовать представление вторичного квантования, в к-ром его действие определено в пространстве симметрических волновых функций, или в пространстве чисел заполнения. Тогда статистич. сумма равна

где N - оператор числа частиц, и с ее помощью можно найти все термодинамич. функции системы Бозе.

Лит.: [1] Xуанг К., Статистическая механика, пер, с англ., М., 1966; [2] Кубо Р., Статистическая механика, пер. с англ., М'.,1967; [3] Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Статистическая физика, 2 изд., М., 1964; [4] Шредингер Э., Статистическая термодинамика, пер. с англ., М., 1948; [5] Боголюбов Н. Н., Лекции по квантовой статистике, в кн.: Избр. тр., т. 2, К., 1970. Д. Н. Зубарев.