" 0 C F G H K L N P S T W Z А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Э Ю Я

СОБОЛЕВА ОБОБЩЕННАЯ ПРОИЗВОДНАЯ

Значение СОБОЛЕВА ОБОБЩЕННАЯ ПРОИЗВОДНАЯ в математической энциклопедии:

- локально суммируемая обобщенная производная от локально суммируемой функции (см. Обобщенная функция).
Подробнее, если есть открытое множество в п- мерном пространстве и F(x)и f(x) - заданные на локально суммируемые функции, то f(x)есть обобщенная частная производная по х _j поСоболеву от функции F(x) на

если выполняется равенство

для любых бесконечно дифференцируемых финитных в функций эта производная - С. о. п.- определена только почти всюду на
Другое эквивалентное определение С. о. п.: пусть локально суммируемую на функцию F(x)можно видоизменить на множестве n-мерной меры нуль так, что она будет локально абсолютно непрерывной по х _j для почти всех в смысле ( п-1)-мерной меры точек (х ₁,...,x_j-l. x_j+l,..., х _n). Тогда функция F будет иметь обычную частную производную x_j почти для всех Если она локально суммируема, то она и наз. С. о. п.
Третье эквивалентное определение С. о. п.: пусть для определенных на функций F(х)и f(х)можно подобрать последовательность непрерывно дифференцируемых на функций {F_k(x)}таких, что для любой области замыкание к-рой принадлежит имеет место

тогда f(x) есть С. о. п. от F(х) на
По индукции определяются С. о. п. на от F(если они существуют) более высокого порядка:

Они не зависят от порядка дифференцирования, напр.

почти всюду на

Лит.:[1] Соболев С. Л., Некоторые применения функционального анализа в математической физике, [2 изд.], Новосиб., 1962; [2] Никольский С. М., Курс математического анализа, 2 изд., т. 2, М., 1975.
С. М. Никольский.