"
0
C
F
G
H
K
L
N
P
S
T
W
Z
А
Б
В
Г
Д
Е
Ж
З
И
Й
К
Л
М
Н
О
П
Р
С
Т
У
Ф
Х
Ц
Ч
Ш
Э
Ю
Я
СМЕШАННАЯ И КРАЕВАЯ ЗАДАЧИ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМЗначение СМЕШАННАЯ И КРАЕВАЯ ЗАДАЧИ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ в математической энциклопедии: задачи отыскания решений уравнений и систем с частными производными гиперболич. типа, удовлетворяющих на границе области их задания (или ее части) определенным условиям (см. Краевые условия, Начальные условия). В области Dзадано линейное гиперболич. уравнение 2-го порядка
где подразумевается суммирование от 1 до ппо повторяющимся индексам i, j и форма положительно определена.
а на S - одному из краевых условий где N - конормаль относительного оператора Задачи (2), (3); (2), (4) и (2), (5) принято соответственно называть первой, второй и третьей смешанной задачей для уравнения (1).
с начальными данными на (пространственно ориентированной) части границы области D, лежащей на плоскости х 0=0. Определенный успех достигнут и при изучении смешанных задач для гиперболич. уравнений и систем в случае, когда носители начальных или краевых условий представляют собой поверхности вырождения типа или порядка этих уравнений (см. Вырожденное уравнение с частными производными).
с коэффициентами, удовлетворяющими условию
где и - нек-рые положительные постоянные, и особенно для уравнений вида
К смешанным задачам с внутренними или внешними краевыми условиями (см. Внешняя и внутренняя краевые задачи )редуцируются математич. модели многих процессов теории рассеяния волн на препятствиях. Напр., к условию излучения Зоммерфельда (см. Излучения условия )приводит задача отыскания решения иволнового уравнения
для всех точек лежащих вне ограниченной области если известно, что производная ипо направлению внешней нормали и обращается в нуль для любого момента времени а начальные условия соответствуют плоской волне, идущей из бесконечности в направлении оси х 1.
где а, bи с - заданные действительные -матрицы, f- заданный, а и - искомый m-мерные векторы. Существенные результаты получены и для довольно широкого класса гиперболич. систем уравнений 2-го порядка с, нерасщепленными главными частями при отсутствии параболич. вырождения. Обнаружен факт неединственности решения характеристич. задачи Гурса
для гиперболич. системы
с двумя независимыми переменными х, у и найден эффект влияния младших членов на корректность этой задачи [3]. Достаточно полно изучен вопрос влияния характера параболич. вырождений на корректность как локальных, так и нелокальных краевых задач для вырождающихся гиперболич. уравнений и систем [3]. В частности, исследованы основные (локальные) краевые задачи для линейных вырождающихся гиперболич. уравнений вида
в ограниченных областях с произвольной кусочно гладкой границей, установлен факт влияния порядка нехарактеристич. вырождения на корректность задачи Дарбу и неравноправия характеристик как носителей краевых условий [10].
и отрезком I : 0<x<1 прямой у =0,найти (достаточно гладкое) решение и(x, у )уравнения (1), удовлетворяющее на Iлокальному условию
а на - нелокальному условию
Здесь А i, В i, а i - заданные функции, -оператор дробного интегро-дифференцирования порядка задаваемый формулой
если и
если где Г (z) - гамма-функция,- целая часть - точка пересечения характеристики, выходящей из точки с характеристикой Г j уравнения (1):
Подробно изучены краевые задачи со смещением для уравнения вида (1), к-рые в характеристич. координатах и редуцируются к уравнению Эйлера - Дарбу - Пуассона
Частным случаем задачи (7) - (8) является задача Дарбу, к-рая состоит в отыскании (достаточно гладкого) решения .( х, у )уравнения (6), удовлетворяющего (локальным) краевым условиям
или
Условие m<2 или (условие Геллерстедта), является существенным для корректности задачи Дарбу (см. [3], [10]).
и
найти решение уравнения, удовлетворяющее условиям или
весьма полно исследована нелокальная задача в следующей постановке. В области {( х, у) :0<x<h, 0<y<Т}найти (достаточно гладкое) решение и( х, у )уравнения (9), если для всех известно, что
или
где x0, x1, . . ., xq - заданные точки из сегмента [0, h]. В теорию краевых задач вносится новый аспект при переходе к гиперболич. уравнениям 3-го порядка вида
к-рые лежат в основе математич. моделей многих процессов и явлений теории тепломассообмена в пористых средах. Построена содержательная теория как локальных, так и нелокальных линейных краевых задач для гиперболич. уравнений вида (10), в частности создан аналог метода Римана. Лит.:[1] Бицадзе А. В., Некоторые классы уравнений в частных производных, М., 1981; [2] Владимиров В. С., Уравнения математической физики, 4 изд., М., 1981; [3] Gе11еrstedt S., лArk. mat., astr., fys.
|
|
|