СЛУЧАЙНОЕ ПОЛЕ ОБОБЩЕННОЕ

Значение СЛУЧАЙНОЕ ПОЛЕ ОБОБЩЕННОЕ в математической энциклопедии:

обобщенный случайный процесс, - случайная функция на гладком многообразии G, типичными реализациями к-рой являются обобщенные функции, заданные на этом многообразии G. Точнее, пусть G- бесконечногладкое многообразие и D(G) -пространство бесконечно дифференцируемых финитных функций, определенных на G, с обычной топологией равномерной сходимости последовательностей равномерно финитных функций и всех их производных. Тогда на Gопределено С. п. о., если задано непрерывное линейное отображение

пространства D(G)в пространство случайных величин, определенных на нек-ром вероятностном пространстве с выделенной -алгеброй его подмножеств и вероятностной мерой определенной на снабжено топологией сходимости по мере [7]. В случае когда вероятностным пространствам является пространство D'(G)обобщенных функций на . с -алгеброй порожденной цилиндрич. множествами в D'(G), а отображение задается формулами

С. п. о. наз. каноническим. Оказывается, что любое С. п. о. на конечномерном многообразии G вероятностно изоморфно нек-рому (единственному) канонич. случайному полю на G (см. [2]).
Приведенное здесь определение допускает ряд естественных модификаций: напр., можно рассмотреть С. п. о. с векторными значениями или вместо пространства D(G) использовать в определении какое-нибудь более обширное пространство основных функций на G (скажем, в случае G=Rⁿ, n=l, 2, 3, пространства .(Rⁿ) бесконечно дифференцируемых функций, убывающих на бесконечности вместе со всеми производными, быстрее любой отрицательной степени

Понятие С. п. о. включает в себя классич. случайные поля и процессы, реализациями к-рых являются обычные функции. Это понятие возникло в сер. 50-х гг. 20 в., когда обнаружилось, что многие естественные стохостич. образования не могут быть достаточно просто выражены в терминах классических случайных полей, а на языке С. п. о. имеют простое и изящное описание. Так, напр., любая положительно определенная билинейная форма на D(Rⁿ), n=1, 2, . . .,

где W(x₁, x₂) - положительно определенная симметрическая обобщенная функция двух переменных, однозначно определяет гауссовское С. п. о. на Rⁿ (с нулевым средним) так, что ковариация этого поля

( - соответствующая этому полю вероятностная мера в D'(Rⁿ)). Это С. и. о. оказывается классическим лишь при достаточно хорошей функции W(x₁,x₂) (напр., непрерывной и ограниченной). Другие примеры: С. п. о. на Rⁿ с независимыми значениями (см. [2]) или т. н. автомодельные случайные поля на Rⁿ (см. [6]), среди к-рых вообще нет классич. полей.
Интерес к исследованию С. п. о. (особенное марковских случайных полей) возрос в последнее время из-за обнаруженной в нач. 70-х гг. связи между задачей построения квантового физич. поля и построением марковских С. п. о. на Rⁿ при п>1 (см. [5]).

Лит.:[1] Гельфанд И. М., Шилов Г. Е., . Пространства основных и обобщенных функций, М., 1958; [2] Гельфанд И. М., Виленкин Н. Я., Некоторые применения гармонического анализа. Оснащенные гильбертовы пространства, М., 1961; [3] Гельфанд И. М., лДокл. АН СССР