СЛЕД

Значение СЛЕД в математической энциклопедии:

- отображение Sр _K_/k поля Кв поле k(где К- расширение k), являющееся гомоморфизмом аддитивных групп и ставящее в соответствие элементу след матрицы k-линейного отображения , переводящего b из Кв ab.

Если K/k - сепарабельное расширение, то

где s_i- пробегают все k-изоморфизмы поля Кв алгебраич. замыкание ноля k. Отображение следа обладает свойством транзитивности: если L/К и K/k - конечные расширения, то для любого

Л. В. Кузьмин.

СЛЕД квадратной матрицы - сумма элементов этой матрицы, стоящих на главной диагонали. С. матрицы А = ||a_ij|| обозначается tr Аили Sp A:

Пусть А- квадратная матрица порядка пнад полем К. С. матрицы Асовпадает с суммой корней характе-ристич. многочлена матрицы А. Если К- поле характеристики 0, то пследов: tr А, . . . ,tr Aⁿ однозначно определяют характеристич. многочлен матрицы А; в частности, матрица Анильпотентна тогда и только тогда, когда tr A^k = 0 для всех k = 1, . . . , п.

Если Аи В - квадратные матрицы одного порядка над полем K, а , то

и при det

С. тензорного произведения квадратных матриц над полем равен произведению следов сомножителей.

Д. А. Супруненко.

СЛЕД на С*-алгебре А- функция f на множестве А ⁺ положительных элементов алгебры А, принимающая значения в , аддитивная, однородная относительно умножения на положительные числа и удовлетворяющая условию f( хх*)=f( х*х).для всех . След f наз. конечным, если для всех ; полуконечным, если f(x)= для всех . Конечные следы на Асуть ограничения на А ⁺ таких положительных линейных функционалов j на А, что j(xy) =j(yx). для всех . Пусть f - след на А, -множество таких элементов , что f(xx*)<- множество линейных комбинаций попарных произведений элементов из ; тогда и - самосопряженные двусторонние идеалы в Аи на существует однозначно определенный линейный функционал j, совпадающий с f на А ⁺. Пусть f - полунепрерывный снизу полуконечный след на С*-алгебре А;. формула s(x, y) =j(y*x). определяет на эрмитову форму, и для любого отображение l_j(x):у ху пространства в себя непрерывно относительно этой формы. Пусть N_f=, H_f- пополнение факторпространства относительно скалярного произведения, определенного формой s. Операторы l_f (х). определяют при переходе к факторпространству и пополнению нек-рые операторы p_f(x). в гильбертовом пространстве H_f, и отображение есть представление С*-алгебры Ав H_f. Соответствие есть взаимнооднозначное соответствие между множеством полунепрерывных снизу полукопечных следов на С*- алгебре Аи множеством представлений С*-алгебры А со следом, определенных с точностью до квазиэквивалентности.

Лит.:[1] Диксмье Ж., С*-алгебры и их представления, пер. с франц., М., 1974. А. И. Штерн.

СЛОВО - горизонтальный ряд буке нек-рого алфавита. Напр., ряд знаков "слововалфавите" является С. в алфавите, состоящем из букв с, т, и, в, а, ф, л, о, с. Для удобства к рассмотрению допускается и пустое слово, т. е. С., не содержащее ни одной буквы. Оно является С. в любом алфавите.

Возможно, несколько более точной является индуктивная характеризация С., согласно к-рой С. в алфавите Аопределяются как объекты, получающиеся в результате развертывания порождающего процесса, определяемого следующими правилами: а) пустое С. считается С. в алфавите А;б) если объект Роказался С. в алфавите А,ax является буквой этого алфавита, то объект Px также считается С. в алфавите А. Индуктивная характеризация С. делает оправданным применение правила индукции для доказательства утверждений типа всеобщности о С. в данном алфавите.

С. представляет собой достаточно общий тип конструктивного объекта, и в силу этого обстоятельства понятие С. играет важную роль в конструктивной математике. Понятие С. широко используется также в алгебраич. исследованиях, работах по математич. лингвистике и т. п.

Лит.:[1] Марков А. А., Теория алгорифмов, М.-Л., 1954 ("Тр. матем. ин-та АН СССР", т. 42, с. 12-25). Н. М. Нагорный.