" 0 C F G H K L N P S T W Z А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Э Ю Я

СИМПЛИЦИАЛЬНОЕ МНОЖЕСТВО

Значение СИМПЛИЦИАЛЬНОЕ МНОЖЕСТВО в математической энциклопедии:

(прежние названия - полусимплициальный комплекс, полный полусимплициальный комплекс) - симплициальный объект категории множеств Ens, т. е. система множеств (n-х слоев) , связанных отображениями , (операторами граней), и s_i: К _п K_n+1, (операторами вырождения), удовлетворяющих соотношениям

Точки слоя К _п наз. n-мерными симплексами С. м. К. Если заданы только операторы di, удовлетворяющие соотношениям d_id_j=d_j-1d_i, i<j, то система {К _п,d_n} наз. полусимплициальным множеством.

Симплициальным отображением f: К К' С. м. Кв С. м. К' наз. морфизм функторов, т. е. последовательность отображений , , удовлетворяющих соотношениям,

С. м. и их симплициальные отображения образуют категорию . Если все отображения f_n являются вложениями, то С. м. Кназ. симплициальным подмножеством С. м. К'. При этом операторы граней и вырождения в С. м. Кпредставляют собой ограничения соответствующих операторов в С. м. K'.

Для любого топологич. пространства Xопределено С. м. S(X), наз. сингулярным С. м. пространства X, симплексами к-рого являются сингулярные симплексы пространства X(см. Сингулярные гомологии), т. е. непрерывные отображения , где Dⁿ - n-мерный геометрический стандартный симплекс

Операторы граней d_i и вырождения s_i этого С. м. определяются формулами

Соответствие является функтором (наз. сингулярным функтором) из категории топологич. пространств Тор в категорию С. м. D⁰Ens. Произвольная симплициальная схема К определяет С. м. О(К), симплексами размерности пк-рого являются (n+1) - членные последовательности (x₀, . . ., х _n).вершин схемы К, обладающие тем свойством, что в Ксуществует такой симплекс s, что для любого i=0, 1, . . ., п. Операторы граней d_i и вырождения s_i этого С. м. определяются формулами

где знак ^ означает, что символ, стоящий под ним, опускается. Если симплициальная схема Купорядочена, то симплексы ( х ₀, . .., х _п), для к-рых , образуют симплициальное подмножество О ⁺ (К) С. М. О(К). Соответствие (и ) является функтором из категории симплициальных схем (упорядоченных симплициальных схем) в категорию D⁰Ens. Для произвольной группы p определено С. м. К(p), симплексами размерности пк-рого являются классы пропорциональных (n+1)-членных последовательностей (по определению , если существует такой элемент , что x^'_i=yx_i для всех i=0,...,п). Операторы граней d_i и вырождения s_i С. м. К(я) определяются формулами

С. м. К(p) является на самом деле симплициальной группой.

Для произвольной абелевой группы p и любого целого определено С. м. (на самом деле, симплициальная абелева группа) E(p, п), симплексами размерности qк-рого являются re-мерные коцепи q-мерного геометрического стандартного симплекса D^q с коэффициентами в группе я (таким образом, Е(p, n)_q=С ⁿ(D^q;p)). Обозначая вершины симплекса D^q символами , определяют симплициальные отображения и формулами

Индуцированные гомоморфизмы групп коцепей

являются, по определению, операторами граней и вырождения С. м. Е(p, п). Симплексы, являющиеся коциклами, образуют симплициальное подмножество С. м. Е(p, п), к-рое наз. С. м. Эйленберга - Маклейна и обозначается К(p, n). Пограничный оператор на группах С*(D^q; p) определяет каноническое симплициальное отображение Е(p, п)K(p, n+1), к-рое обозначается d. Поскольку понятие одномерного коцикла имеет смысл и для неабелевой группы p (см. Неабелевы когомологии), С. м. К(p, 1) определено и без предположения, что группа p абелева. Это С. м. <изоморфно С. м. К(p). (следует каждому симплексу сопоставить значения нульмерной коцепи, кограницей к-рой является коцикл z, на вершинах ).

Сопоставив каждому слою К _п С. м. Ксвободную абелеву группу, им порожденную, получают симплициальную абелеву группу и, следовательно, цепной комплекс. Этот комплекс обозначается С(К).и наз. комплексом цепей С. м. К. Группы (ко)гомологий комплекса С(К).(с коэффициентами в группе G) наз. группами (ко)гомологий Н _* (К;G) и Н* (К;G).С. м. К. Группы (ко)гомологий сингулярного С. м. S(X).являются сингулярными группами (ко)гомологий топологич. пространства X. Группы (ко)гомологий С. м. О(К).и О ⁺ (К).изоморфны и наз. группами (ко)гомологий симплициальной схемы К. Группы (ко)гомологий С. м. К(p) суть группы (ко)гомологий группы p.

Симплекс С. м. Кназ. вырожденным, если существует такой симплекс и такой оператор вырождения s_i, что х=s_i у. Лемма Эйленберга - Зильбера утверждает, что любой симплекс С. м. Кединственным образом представляется в виде x=K(s)y, где s- нек-рый эпиморфизм , а - невырожденный симплекс. Наименьшее симплициальное подмножество С. м. К, содержащее все его невырожденные симплексы размерности, меньшей или равной n, обозначается К ⁿ или SkⁿK и наз. n-мерным остовом С. м. К.

Геометрические стандартные симплексы

составляют косимплициальное топологич. пространство относительно операторов кограней d_i и ковырождения s_i, определенных формулами

В дизъюнктном объединении , где все К _n рассматриваются как дискретные множества, формулы

определяют отношение эквивалентности, факторпространство по к-рому является клеточным разбиением (клеточным пространством), клетки к-рого находятся в биективном соответствии с невырожденными cимплексами С. м. К. Это клеточное разбиение обозначается | К| или RK и наз. геометрической реализацией в смысле Милнора С. м. К. Каждое симплициальное отображение индуцирует по формуле

непрерывное отображение , и соответствия представляют собой функтор R: . Этот функтор сопряжен слева к сингулярному функтору . Соответствующие изоморфизмы функторов

определяются формулами

где

Морфизм сопряжения является для любого топологич. пространства Xслабой гомотопич. эквивалентностью (это, в частности, доказывает, что произвольное топологич. пространство слабо гомотопически эквивалентно клеточному разбиению).

Конструкция геометрич. реализации | К| обобщается на симшшциальные топологич. пространства К. Можно . также определить геометрическую реализацию в смысле Дживера - Ху ||K||, учитывающую только операторы граней d_i (в этой реализации имеются клетки для всех симплексов из К, а не только невырожденных). Если каждый оператор вырождения s_i является замкнутым корасслоением (условие, автоматически выполненное для С. м.), то естественное отображение является гомотопич. эквивалентностью.

Категория допускает произведения, при этом для любых С. м. их произведением будет С. м. KXL, для к-рого

В частности, для каждого С. м. Копределено его произведение на симплициальный отрезок D¹. Проекции и определяют биективное отображение

к-рое является гомеоморфизмом, когда произведение RKX RL представляет собой клеточное разбиение (напр., если оба С. м. Ки Lсчетны или же если одно из клеточных разбиений RK или RL локально конечно). Отсюда, в частности, следует, что геометрич. реализация любого счетного симплициального моноида (группы, абелевой группы) является топологич. моноидом (группой, абелевой группой).

Симплициальные отображения наз. гомотопными, если существует такое симплициальное отображение (гомотопия) L, что

для любого симплекса и для любой композиции s (длины п).операторов вырождения. Это определение (моделирующее обычное определение гомотопии непрерывных отображений) равносильно (для случая С. м.) общему определению гомотопности симплициальных отображений любых симплициальных объектов.

Имея понятие гомотопии, можно развивать теорию гомотопии С. м. аналогично теории гомотопии полиэдров. Оказывается, что эти две теории полностью параллельны; это находит свое выражение в том, что соответствующие категории эквивалентны (эквивалентность осуществляется функтором геомотрич. реализации). В частности, геометрич. реализации гомотопных симплициальных отображений гомотопны, и, напр., геометрич. реализация С. м. К(p, п).будет Эйленберга - Маклейна пространством К(p, п). Однако фактич. построение теории гомотопий для С. м. в деталях несколько отличается от построения теории гомотопий для топологич. пространств. Основное отличие состоит в том, что отношение гомотопности симплициальных отображений не является, вообще говоря, отношением эквивалентности. Эта трудность преодолевается следующим образом.

Симплициальное отображение стандартного фунтика (см. Стандартный симплекс).в С. м. Кназ. фунтиком в К. Каждый фунтик однозначно задается (n+1) - членной последовательностью n-мерных симплексов х ₀, x₁, ..., x_k-1, x_k+1, ..., x_n+1 для к-рых d_ix_j=d_j-1x_i при любых . Говорят, что фунтик заполняется, если он распространяется на все С. м. Dⁿ⁺¹, т. е. найдется такой (n+1)-мерный симплекс х, что d_ix=x_i для каждого . С. м. Кназ. полным (или удовлетворяющим условию Кана), если каждый его фунтик заполняется.

Сингулярное С. м. S(X) произвольного топологич. пространства X всегда полно. Любая симплициальная группа полна, в частности полны С. м. Эйленберга - Маклейна К(p).и К(p, п). Значение полных С. м. состоит в том, что отношение гомотопности симплициальных отображений произвольного С. м. в полное С. м. является отношением эквивалентности. Поэтому на подкатегории полных С. м. построение теории гомотопий принципиальных трудностей не вызывает. Вместе с тем существует [4] функтор ,

сопоставляющий каждому С. м. Кполное С. м. , геометрич. реализация к-рого гомотонически эквивалентна геометрич. реализации С. м. Ки к-рое поэтому вполне заменяет С. м. Кво всех гомотопических вопросах.

Два n-мерных симплекса хи х' С. м. Кназ. сравнимыми, если . Сравнимые симплексы наз. гомотопными, если существует такой (n+1)-мерный симплекс у, что d_ny=x, d_n+1y=x' и d_iy=s_n-1d_ix=s_n-1d_ix', . Для полных С. м. это отношение является отношением эквивалентности, причем симплексы тогда и только тогда гомотопны, когда их характеристические симплициальные отображения гомотопны .

С. м. Кназ. пунктированным, если в нем отмечен нек-рый нульмерный симплекс q (тем же символом q обозначаются все вырождения этого симплекса, а также порожденное им симплициальное подмножество, к-рое обычно наз. отмеченной точкой в К). Для полного пунктированного С. м. Кмножество p _п (К).классов гомотопных га-мерных симплексов, сравнимых с симплексом q, является при группой. Эта группа наз. n-м ерной гомотопической группой пунктированного полного С. м. К;эта терминология оправдывается тем, что p_n (К).p _п(|К|), и в частности p_n (К(p, n))=p и p_i(K (p, п)).= 0 при . С. м. К, для к-рого p_i (К).0 при всех , наз. n-связным; при этом 0-связное С. м. наз. связным, а 1-связное С. м.- односвязным. Сложение в группе , индуцируется операцией, сопоставляющей симплексам хи у(сравнимым с q) симплекс d_nz, где z - симплекс размерности n+1, заполняющий фунтик x_i=0, , х _n-1=х, х _п+1=у. Если С. м. Кявляется симплициальным моноидом с единицей q, то сложение индуцируется также умножением в этом моноиде (произведение двух симплексов, сравнимых с q, сравнимо с q).

Поскольку любой симплекс у, сравнимый с q, является циклом (цепного комплекса С(К), определяемого С. м. К), то возникает естественный гомоморфизм

Гуревича , при п=1 индуцирующий изоморфизм

(теорема Пуанкаре), а при n>1 являющийся изоморфизмом, когда С. м. К( п-1)-связно (теорема Гуревича). Для полных С. м. справедлива также и теорема Уайтхеда в обоих ее вариантах, т. е. симплициальное отображение полных С. м. тогда и только тогда является гомотопич. эквивалентностью, когда оно индуцирует изоморфизм гомотопич. групп, причем для односвязных С. м. это условие равносильно тому, что индуцированные гомоморфизмы групп гомологии являются изоморфизмами.

В случае, когда Кявляется симплициальной группой, гомотопич. группа p_n (К).изоморфна группе гомологии цепного (не обязательно абелева) комплекса , для к-рого

а граничный оператор является ограничением на оператора (-1)ⁿd_n. Если симплициальная группа Кабелева, то комплекс является подкомплексом этой группы, рассматриваемой как цепной комплекс, и, более того, ее цепным деформационным ретрактом, и, в частности, ее прямым слагаемым. Оказывается, что дополнительным прямым слагаемым служит подкомплекс, порожденный вырожденными симплексами. Поэтому соответствующий факторкомплекс комплекса Кему ценно эквивалентен. Напр., для групп когомологий произвольного С. м. Котсюда следует (теорема о нормализации), что они изоморфны нормализованным группам когомологий, т. е. группам, получающимся, если ограничиться коцепями, равными нулю на всех вырожденных симплексах. Кроме того, p_n (С(К))=Н _n (К).

Функтор осуществляет эквивалентность теории гомотопий симплициальных абелевых групп с теорией гомологии цепных комплексов. Отсюда, в частности, следует, что любая связная симплициальная абелева группа Кгомотопически эквивалентна произведению С. м. Эйленберга - Маклейна К(p_n (К), п).

Полное С. м. К наз. минимальным, если сравнимые симплексы тогда и только тогда гомотопны, когда они совпадают. С. м. К(p, п).минимально. Всякая гомотопич. эквивалентность минимальных С. м. является изоморфизмом. Каждое полное С. м. Кобладает минимальным симплициальным подмножеством. Оно является его деформационным ретрактом, и но-этому с точностью до изоморфизма определено однозначно.

Симплициальное отображение наз. расслоением в смысле Кана, если в Езаполняется любой фунтик , для к-рого фунтик заполнен, причем для любого заполнения фунтика pof существует такое заполнение фунтика f, что . Расслоение в смысле Кана является симплициальным аналогом расслоения в смысле Серра и для него имеет место теорема о накрывающей гомотопий в следующей форме: если для симплициальных отображений и имеет место равенство то существует такое симплициальное отображение , что и . Если расслоение рявляется сюръективным отображением, то С. м. Еполно тогда и только тогда, когда полно С. м. В. Слоем расслоения наз. (автоматически полное) С. м. F=p¹(q), где q - отмеченная точка в В. Для любого расслоения в смысле

Серра симплициальное отображение S(р): является расслоением в смысле Кана, и для любого расслоения в смысле Кана отображение является расслоением в смысле Серра (см. [5]).

Пусть К - полное пунктированное С. м. и Положим хп у, где , если d_ix=d_iy для всех , т. е. если

(см. Стандартный симплекс). Это отношение является эквивалентностью, и фактормножества (CoskⁿK)_q=K_q/n составляют (по отношению к индуцированным операторам граней и вырождения) С. м. CoskⁿK, к-рое наз. n-м коостовом С. м. К. По определению, полагается CoskⁿK = K. Для любого С. м. CoskⁿK полно и p_q(CoskⁿK)=0 при q>n. Кроме того, для любого естественное сюръективное симплициальное отображение

является расслоением, индуцирующим в размерностях, меньших или равных т, изоморфизм гомотопич. групп. В частности, слой расслоения гомотонически эквивалентен С. м. Эйленберга - Маклейна К(p_n (K), п). Последовательность расслоений

наз. Постникова системой полного С. м. К. Если С. м. Кминимально, то эта последовательность является его резольвентой (см. Гомотопический тип). Конструкция системы Постникова непосредственно обобщается на произвольное расслоение полного С. м. Енад полным С. м. В. Пусть Coskⁿp есть С. м., слоями (Coskⁿp)_q к-рого являются фактормножества слоев Eq по отношению , к-рое имеет место тогда и только тогда, когда р(х)=р (у).и d_ix=d_iy при всех . По определению, полагается . При этом . При естественное сюръ-ективное симплициальное отображение

является расслоением, индуцирующим в размерностях, меньших или равных ти больших n+1, изоморфизм гомотопич. групп. В частности, слой расслоения гомотопически эквивалентен С. м. Эйленберга-Маклейна K(p_n(F), n). Слоем расслоения является С. м. CoskⁿF, где F - слой расслоения . Последовательность расслоений

наз. системой Мура - Постникова расслоения .

На языке С. м. удобно определять спектры. Симплициальным спектром наз. последовательность {X(q)} пунктированных множеств (его элементы наз, симплексами, отмеченный симплекс обозначается q), определенных для произвольного целого числа q, снабженная отображениями ,

(операторами граней), и (операторами вырождения), к-рые удовлетворяют соотношениям (*) и следующему условию: для каждого симплекса существует такое целое ге, что d_ix=qпри i>n. Каждому спектру Xи произвольному целому n можно сопоставить С. м. Х _п, определив его формулой

при i > q, d₀, ..., d_qx =q}.

Для так определенных С. м. Х _п имеют место вложения , где S - надстройка. По последовательности С. м. Х _n и вложений симплициальный спектр X, в свою очередь, восстанавливается однозначно. Если все С. м. Xполны, то , где W - функтор петель. Функтор геометрич. реализации осуществляет эквивалентность категории симплициальных спектров с категорией топологич. спектров. Симплициальные спектры могут быть определены для произвольной категории. Категория абелевых групповых спектров изоморфна категории (абелевых) цепных комплексов.

Лит.:[1] Габриель П., Цисман М., Категории частных и теория гомотопий, пер. с англ., М., 1971; [2] М а у

J. P., Simplicial objects in algebraic topology, Princeton, 1967; [3] Lamotke K., Semisimpliziale algebraische Topologie, В.- [u. a.], 1968; [4] Кan D., "Amer. J. Math.", 1957, v. 79, p. 449-76; E5] Quillen D., "Proc. Amer. Math. Soc.", 1968, v. 19, p. 1499-500; [6] Браун 3. X., "Математика", 1958, т. 2, № 2, с. 3-24; [7] Кан Д., там же, 1962, т. 6, № 1, с. 3-32; [8] его же, там же, 1966, т. 10, № 3, с. 12-28.

С. Я. Малыгин, М. М. Постников.