СИММЕТРИИ ПРИНЦИП

Значение СИММЕТРИИ ПРИНЦИП в математической энциклопедии:

принцип симметрии Шварца, принцип симметрии Римана-Шварца для аналитических функций: пусть область Gрасширенной комплексной плоскости ограничена замкнутой жордановой кривой Г, в состав к-рой входит дуга lокружности Lрасширенной комплексной плоскости . Пусть, далее, функция f(z) определена и непрерывна на , аналитична в G,а на l принимает значения, принадлежащие нек-рой окружности Срасширенной комплексной плоскости Тогда f(z) продолжается через дугу lв область G*,. симметричную с Gотносительно L, до функции, аналитической в области . Такое продолжение (через l)единственно и определяется следующим свойством продолженной функции f(z): если точки и симметричны (инверсны) относительно L, то точки w=f(z) и w*=f(z* )симметричны относительно С. В частности, если Lи Ссовпадают с действительной осью плоскости , то при . Под окружностями расширенной комплексной плоскости понимаются как собственно окружности, так и прямые. Непрерывность также может пониматься как в обычном, так и в обобщенном смысле, т. е. когда f(z) наз. непрерывной в точке z₀, если при , независимо от конечности или бесконечности величины f(z₀). Кривая Г, равно как и l, может проходить через точку . По условию, , но не обязательно f(l)=C. Кроме того, если Gи G* имеют общие внутренние точки, то продолженная функция в этих точках .может быть неоднозначной.

С. <п. для гармонических функций при тех же G, L, l и G* формулируется так: если функция и( х, у )гармонична в G, непрерывна на и равна нулю на l, то ипродолжается через lв G* до функции, гармонической в . При этом если точки и симметричны относительно L,то и( х*, у*)=-и( х, у).

Обобщением С. п. на случай аналитич. дуг l(и С)является принцип Шварца аналитич. родолжения аналитических и гармонич. функций (см. [1], [2]). Обобщение С. п. для гармонич. функций на случай функции любого числа переменных наз. отражения принципом. С. п. широко используется в приложениях теории аналитических и гармонич. функций (при конформных отображениях областей с одной или несколькими осями симметрии, в теории упругости, гидромеханике, электростатике и т. д.).

Лит.:[1] S c h w a r z H., Gesammelte mathematische Abhandlungen, Bd 2, В., 1890; [2] П р и в а л о в И. И., Введение в теорию функций комплексного переменного, 12 изд., М., 1977, с. 350-60; [3] Л а в р е н т ь е в М. А., Ш а б а т Б. В., Методы теории функций комплексного переменного, 4 изд., М., 1973, с. 158-97, 214-15. Е. П. Долженко.