СЖАТИЕ

Значение СЖАТИЕ в математической энциклопедии:

с ж и м а ю щ и й о п е р а т о р,- ограниченное линейное отображение Тгильбертова пространства H в гильбертово пространство H' с . При H=H' сжатие Тназ. вполне неунитарным, если оно не является унитарным оператором ни при каком: отличном от {0} приводящем Тподпространстве. Таковы, напр., односторонние сдвиги (в отличие от двусторонних сдвигов, являющихся унитарными С.). Всякому С. в Нотвечает единственное ортогональное разложение на приводящие Тподпространства такое, что унитарен, а вполне неунитарен. наз. каноническим разложением сжатия Т. Д и л а т а ц и е й, или растяжением, данного сжатия Т, действующего в H, наз. ограниченный оператор В, действующий в нек-ром объемлющем гильбертовом пространстве и такой, что Т ⁿ=РВ ⁿ, n -1, 2, . . ., где Р - ортопроектор из Kна H. Всякое С. в гильбертовом пространстве H обладает унитарной дилатацией Uв пространстве и притом минимальной в том смысле, что K= з . л. о. (т е о р е м а С ё к е ф а л ь в и - Н а д я). Минимальные унитарные дилатации и определенные на основе спектральной теории функции от них позволяют построить функциональное исчисление для С., развитое в основном для ограниченных аналитич. ций в открытом единичном круге D(класс Харди ). Вполне неунитарное сжатие Тпринадлежит, по определению, классу С ₀, если существует функция , , такая, что и(Т)=0. Класс С ₀ содержится в классе С ₀₀ сжатий Т, для к-рых при . Для всякого сжатия Ткласса С ₀ существует т. н. м и н и м а л ь н а я функция m_T(l). (т.e. внутренняя функция в почти всюду на границе D)такая, что и(Т)=0. и и(l). является делителем всех прочих внутренних функций, обладающих тем же свойством. Множество нулей минимальной функции m_T(l). сжатия Тв Dвместе с дополнением до единичной окружности к объединению тех дуг, через к-рые m_T(l). допускает аналитич. родолжение, совпадает со спектром s(T). Понятие минимальной функции сжатия Ткласса С ₀ позволяет распространить для этого класса С. функциональное исчисление на нек-рые мероморфные в Dфункции.

Теоремы об унитарных дилатациях получены не только для индивидуальных С., но и для дискретных { Т ⁿ}, n=0, 1, . . ., и непрерывных , полугрупп С.

Как и для диссипативных операторов, для С. построена теория их характеристич. оператор-функций и на ее основе - функциональная модель, позволяющая изучать структуру С. и соотношения между спектром, минимальной функцией и характеристич. функцией (см. [1]). Преобразованием Кэли

сжатие Тсвязано с максимальным аккретивным оператором А, т. е. таким, что iA- максимальный диссипативный оператор. На этой основе строится теория диссипативных расширений В ₀ симметрич. операторов А ₀ (соответственно диссипативных по Филлипсу расширений iB₀ консервативных операторов iA₀).

Для С. разработана теория подобия, квазиподобия и одноклеточноести. Теория С. тесно связана с теорией прогнозирования стационарных случайных процессов и теорией рассеяния. В частности, схему Лакса- Филлипса [2] можно рассматривать как континуальный аналог теории Сёкефальви-Надя-Фояша С. класса С ₀₀.

Лит.:[1] С е к е ф а л ь в и-Н а д ь В., Ф о я ш Ч., Гармонический анализ операторов в гильбертовом пространстве, пер. с франц., М., 1970; [2] Л а к с П. Д., Ф и л л и п с Р. С., Теория рассеяния, пер. с англ., М., 1971. И. С. Иохвидов.