СЕТЬ

Значение СЕТЬ в математической энциклопедии:

топологического простран с т-в а X - семейство подмножеств этого пространства такое, что для каждой точки и каждой ее окрестности Ох найдется элемент М семейства такой, что

Семейство всех одноточечных подмножеств пространства и каждая его база всегда является его С. Отличие С. от базы в том, что элементы С. не обязаны быть открытыми множествами. С. <появляются при непрерывных отображениях: если f - непрерывное отображение топологич. пространства Xна топологич. пространство Y и - база пространства X, то образы элементов базы при f составляют сеть пространства Y. Далее, если пространство Xпокрыто каким-либо семейством своих подпространств, то, фиксируя при каждом какую-либо пространства Х _a и соединяя все эти базы вместе, получают сеть пространства X. Пространства со счетной С. характеризуются как образы сепарабельных метрич. пространств при непрерывных отображениях.

Минимум мощностей всевозможных С. пространства Xназ. сетевым весом этого пространства и обозначается nw(X). Сетевой вес пространства всегда не превосходит его веса, но, как показывают примеры счетных пространств без счетной базы, сетевой вес может отличаться от веса. Для всех бикомпактных хаусдорфовых пространств сетевой вес совпадает с весом. Это утверждение распространяется на локально бикомпактные пространства, пространства, полные по Чеху, и на перистые пространства. Отсюда, в частности, следует, что вес не увеличивается при отображениях на такие пространства. Другое следствие: если перистое пространство X(в частности, бикомпакт) представлено в виде объединения семейства мощности своих подпространств, вес каждого из к-рых не превосходит кардинала t, предполагаемого бесконечным, то и вес всего пространства Xне больше, чем t.

Лит.:[1] А р х а н г е л ь с к и й А. В., П о н о м а р е в В. И., Основы общей топологии в задачах и упражнениях, М., 1974; [2] А р х а н г е л ь с к и й А., "Докл. АН СССР", 1959, т. 126, № 2, с. 239-41. А. В. Архангельский.