СЕДЛО

Значение СЕДЛО в математической энциклопедии:

- тип расположения траекторий автономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка:

(*)

, G - область единственности, в окрестности особой точки ( равновесия положения) х₀. Этот тип характеризуется следующим образом. Существует окрестность Uточки х ₀ такая, что для всех траекторий системы, начинающихся в , как положительные, так и отрицательные полутраектории являются уходящими (с течением времени покидают любой компакт ). Исключение составляют лишь четыре траектории (с е п а р а т р и с ы с е д л а). Для двух из них отрицательные полутраектории являются уходящими, а положительные полутраектории примыкают к точке x₀, для двух других - наоборот. Первые две сепаратрисы наз. устойчивыми, две вторые - неустойчивыми. Устойчивые сепаратрисы, будучи дополнены точкой х ₀, образуют проходящую через х ₀ гладкую кривую - устойчивое многообразие седла. Неустойчивые сепаратрисы вместе с точкой х ₀ образуют гладкое неустойчивое многообразие седла. С. при этом наз. и сама точка х ₀.

Седло х ₀ неустойчиво по Ляпунову. Его индекс Пуанкаре равен -1. Для системы (*) класса с ненулевой матрицей А=f' (х ₀ )точка покоя х ₀ является С. в случае, когда собственные значения l₁l₂ матрицы Аудовлетворяют условию l₁l,₂<0 (простое С., рис. 1, где x₀ = 0), но может быть С. и в тех случаях, когда или l₁=l₂=0. В любом из этих случаев сепаратрисы С. касаются в точке х ₀. направлений, определяемых собственными векторами матрицы А.

Если система (*) линейна (f(x)-A ( х-х₀), А - постоянная матрица с собственными значениями l₁l₂), то для нее точка х ₀ является С. лишь при условии l₁l₂<0. Сепаратрисы седла х ₀ в этом случае прямолинейны, а все остальные траектории (отличные от точки х ₀). суть аффинные образы гипербол вида (рис. 2).

Термин "С." применяют и для наименования любого расположения траекторий системы (*) в окрестности U изолированной точки покоя х ₀, при к-ром из к точке х ₀ примыкает лишь конечное число траекторий, и каждая из них, будучи дополнена точкой x₀, касается в ней определенного направления (m-сепаратрисное С.). С. наз. и нек-рые типы точек покоя автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений порядка

Лит. см. при ст. Особая точка дифференциального уравнения. А. Ф. Андреев.