РИССА ТЕОРЕМА

Значение РИССА ТЕОРЕМА в математической энциклопедии:

- 1) Р. т. о представлении субгармонической функции: если и(х) - субгармонич. функция в области Dевклидова пространства , то существует единственная положительная борелевская мера m на Dтакая, что для любого относительно компактного множества справедливо п р е д с т а в л е н и е Р и с с а функции и(х)в виде суммы потенциала и гармонич. функции h(x):

(4)

где

- расстояние между точками

(см. [1]). Мера m наз. а с с о ц и и р о в а н н о й мерой для функции и(х)или м е р о й Р и с с а.

Если есть замыкание области H, причем существует обобщенная функция Грина g(x, у; Н), то формулу (1) можно записать в виде

(2)

где h* (х) - наименьшая гармонич. мажоранта и(х)в области Н.

Формулы (1), (2) можно распространить при нек-рых дополнительных условиях на всю область D(см. Субгармоническая функция, а также [3], [5]).

2) Р. <т. о с р е д н е м з н а ч е н и и субгармонической функции: если и(х) -- субгармонич. функция в кольцевой области , то ее среднее значение но площади сферы S_п (х ₀,r) с центром х ₀ и радиусом , равно

где s_n(r) - площадь S_n(x₀,r), и является выпуклой функцией относительно 1/r^n-² при и относительно Inr при n=2. Если же и(х) - субгармонич. функция во всем шаре , то J(r), кроме того,- неубывающая непрерывная функция относительно r при условии, что J(0) = u(x₀ )(см. [1]).

3) Р. <т. об а н а л и т и ч е с к и х ф у н к ц и я х к л а с с о в Х а р д и Н _d,d > 0: если f(z) - регулярная аналитич, функция в единичном круге класса Харди Н _d,d > 0 (см. Граничные свойства аналитических функций), то для нее имеют место соотношения

где Е - любое множество положительной меры на окружности , f(eⁱ^q) - граничные значения f(z) на Г. Кроме того, тогда и только тогда, когда ее первообразная непрерывна в замкнутом круге и абсолютно непрерывна на Г (см. [2]). Теоремы 1) - 3) доказаны Ф. Риссом (см. [1], [2]).

Лит.:[1] R i e s z F., "Acta math.", 1926, v. 48, p. 329 - 43;1930, v. 54, p. 321-60; [2] e г о ж е, "Math. Z.", 1923, Bd 18. S. 87-95; [3] П р и в а л о в И. И., Субгармонические функции, М.-Л., 1937; [4] е г о ж е, Граничные свойства аналитических функций, 2 изд., М.-Л., 1950; [5] Х е й м а н У. К., К е н н е д и П. Б., Субгармонические функции, пер. с англ., т. 1, М., 1980. Е. Д. Соломенцев.