РИССА СИСТЕМА

Значение РИССА СИСТЕМА в математической энциклопедии:

- понятие теории ортогональных систем Пусть фиксирована в пространстве L²=L² ( а,b )полная система функций {y_n}. Ее считают нормированной или, более общо, почти нормированной, т. е. допускают наличие чисел m> 0 и М >0, при к-рых для всех .

Ослабляя требования ортогональности системы {y_n}, предполагают, что существует полная в L² система функций {g_n} и такая, что (y_n, g_n)=1, (y_n, g_m)=0 Для всех . В частном случае, когда система {$} ортонормирована, g_n-^ty_n для всех " . Если ряд

сходится в L² к функции f, то а _п=(f, g_n )при всех . Поэтому имеет смысл называть число а _n= (f, g_n) ^n- коэффициентом Фурье функции f по системе {y_n}. В доказательстве ряда теорем теории ортогональных рядов играют важную роль неравенство Бесселя и теорема Рисса-Фишера. В общем случае эти теоремы не верны, и поэтому приходится выделять специальный класс Р. с. с помощью следующих требований к системе {y_n}.

1) Для любой функции f сходится ряд из квадратов коэффициентов Фурье, т. е.

2) Для любой последовательности чисел существует функция f, имеющая числа а _п своими n-коэффициентами Фурье по системе {y_n}, то есть а _п=(f,g_n )Для всех .

Первое требование к системе {y_n} заменяет неравенство Бесселя, второе - теорему Рисса - Фишера. Н. К. Бари доказала (см. [2]), что система {y_n} есть Р. с. тогда и только тогда, когда существует линейный непрерывный обратимый в L² оператор Атакой, что система функций {Ay_n} является полной и ортонормированной. Поэтому Р. с. наз. также базисом Рисса, эквивалентным ортонормированному. Н. К. Бари указала удобный критерий для Р. с. Полная в L² система функций {y_n} является Р. с. тогда и только тогда, когда матрица Грама определяет линейный непрерывный обратимый оператор в l². Если в Р. с. переставить произвольно члены, то получится Р. с. Обратно, если базис в L² остается базисом после любой перестановки его членов, то, нормируя его, получают Р. с. Естественное обобщение Р. с. получают, если заменить L² на замыкание линейной оболочки системы {y_n} по норме того гильбертова пространства, из к-рого взяты элементы y_n (см. [4]).

Лит.:[1] Б а р и Н. К., "Докл. АН СССР", 1946, т. 54, с. 383-86; [2] е е ж е, "Уч. зап. МГУ", 1951, в. 148, № 4, с. 69-107; [3] Г о х б е р г И. Ц., К р е й н М. Г., Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве, М., 1965; [4] Г а п о ш к и н В. Ф., "Успехи матем. наук", 1966, т. 21, в. 6, с. 3-82. В. Ф. Емельянов.