РАСШИРЕНИЕ

Значение РАСШИРЕНИЕ в математической энциклопедии:

п о л у г р у п п ы А - полугруппа S, содержащая Ав качестве подполугруппы. Обычно речь идет о расширениях полугруппы А, связанных с Атеми или иными условиями. Наиболее развита теория идеальных Р. полугрупп (полугрупп, содержащих Ав качестве идеала). Каждому элементу s идеального расширения Sполугруппы Асопоставляют ее левый и правый сдвиги ; пусть . Отображение t является гомоморфизмом полугруппы Sв сдвиговую оболочку Т(А). полугруппы Аили изоморфизмом, если Аслабо редуктивна (см. Сдви ги, полугрупп). Полугруппа tS наз. т и п о м и д еа л ь н о г о р а с ш и р е н и я S. Среди идеальных расширений Sполугруппы Авыделяют с т р о г и е Р., для к-рых tS=tA, и ч и с т ы е Р.,вк-рых . Каждое идеальное Р. полугруппы Аявляется чистым Р. нек-рого ее строгого Р.

Идеальное расширение Sполугруппы Аназ. п л о т н ы м (иногда с у щ е с т в е н н ы м), если всякий гомоморфизм полугруппы S, инъективный на А, являетсяизоморфизмом. Полугруппа Атогда и только тогда обладает максимальным плотным идеальным расширением D, когда Аслабо редуктивна; в этом случае Dединственна с точностью до изоморфизма и изоморфна Т(А), а полугруппа Аназ. плотно в л о ж е нн ы м и д е а л о м в D. Подполугруппы Т(А), содержащие t А, и только они изоморфны плотным идеальным Р. слабо редуктивной полугруппы А.

Если S - идеальное Р. полугруппы Аи факторполу-группа изоморфна Q, то Sназывается Р. полугруппы Апри помощи полугруппы Q. Хорошо изучены идеальные Р. вполне простых полугрупп, идеальные Р. группы при помощи вполне 0-простой полугруппы, коммутативной полугруппы с сокращением при помощи группы с присоединенным нулем и т. д. В общем случае задача описания всех идеальных Р. полугруппы Апри помощи полугруппы Qдалека от решения.

Среди Р. полугруппы Адругих типов выделяются полугруппы S,обладающие конгруэнцией, одним из классов к-рой является А, вчастности т. н. ш р е й ер о в ы Р. полугруппы с единицей [1] - аналог шрейеровых расширений групп. При изучении различных видов таких Р. полугрупп (в частности, для инверсных полугрупп) используются когомологии полугрупп.

Другим широким направлением теории Р. полугрупп являются различные задачи о существовании Р. полугруппы А, принадлежащих фиксированному классу полугрупп. Так, всякую полугруппу Аможно вложить в полную полугруппу, в простую относительно конгруэнции полугруппу, в бипростую полугруппу с нулем и единицей (см. Простая полугруппа);всякую конечную или счетную полугруппу - в полугруппу с двумя образующими. Известны условия, при к-рых полугруппу Аможно вложить в полугруппу без собственных левых идеалов, в инверсную полугруппу, в группу (см. Вложение полугруппы).и т. д.

Лит.:[1] К л и ф ф о р д А., П р е с т о н Г., Алгебраическая теория полугрупп, пер. с англ., М., 1972, т. 1; [2] P e t r i c h М., Introduction to semigroups, Columbus. 1973.

Л. М. Глускин,

РАСШИРЕНИЕ п о л я - поле, содержащее данное поле в качестве подполя. Запись означает; К - расширение поля k. Поле K в этом случае наз. также н а д п о л е м поля k.

Пусть и - два Р. поля k. Изоморфизм полей наз. и з о м о р ф и з м о м р а с ш и р е н и й (или k- и з о м о р ф и з м о м п о л е й); если j тождествен на k. Если изоморфизм Р. существует, то Р. наз. изоморфными. В случае K=Ljназ. а в т ом о р ф и з м о м р а с ш и р е н и я . Множество всех автоморфизмов Р. образует группу , наз. г р у п п о й Г а л у а п о л я Котносительно k, или г р у п п о й Г а л у а р а с ш и р е н и я . Расширение наз. а б е л е в ы м, если эта группа абелева.

Элемент поля a наз. а л г е б р а и ч е с к и м над k, если он удовлетворяет нек-рому алгебраич. уравнению с коэффициентами из поля k, и т р а н с ц е н д е н тн ы м - в противном случае. Для каждого алгебраич. элемента a существует единственный многочлен f_a(x). со старшим коэффициентом, равным 1, неприводимый в кольце многочленов и такой, что f_a(a) = 0, и всякий многочлен над k, корнем к-рого является элемент a, делится на f_a (х). Этот многочлен наз. м и н и м а л ь н ы м м н о г о ч л е н о м э л е м е н т а a.

Расширение K/kназ. а л г е б р а и ч е с к и м, если всякий элемент из Kалгебраичен над k. Р., не являющейся алгебраическим, наз. т р а н с ц е н д е н т н ы м. Р. наз. н о р м а л ь н ы м, если оно алгебраическое и всякий неприводимый в многочлен, обладающий корнем в K, разлагается в на линейные множители. Подполе kназ. а л г е б р а и ч е с к и з а м к н у т ы м в K, если каждый алгебраический над kэлемент из K на самом деле лежит в k, т. е. всякий злемент из K/kтрансцендентен над k. Поле, алгебраически замкнутое в любом своем Р., является алгебраически замкнутым полем.

Расширение K/kназ. к о н е ч н о п о р о ж д е нн ы м (или р а с ш и р е н и е м к о н е ч н о г о т и п а), если в Kсуществует такое конечное подмножество элементов S, что Kсовпадает с наименьшим подполем, содержащим Sи k. В этом случае говорят, что Kпорождается множеством Sнад k. Если K может быть порождено над kмножеством из одного элемента a, то Р. наз. п р о с т ы м и обозначается K=k(a). Простое алгебраич. расширение k(a) полностью определяется минимальным многочленом f_a порождающего элемента a. Точнее, если k(b) - другое простое алгебраическое Р. и f_a=f_b , то существует изоморфизм расширений , переводящий a в b. Далее, для любого неприводимого многочлена существует простое алгебраич. расширение k(a) с минимальным многочленом f_a=f. Оно может быть построено как факторкольцо . С другой стороны, для всякого простого трансцендентного расширения k(a)существует изоморфизм расширений , где k(x)- поле рациональных функций от хнад k. Любое Р. конечного типа может быть получено с помощью конечной цепочки простых Р.

Расширение K/kназ. к о н е ч н ы м, если Kкак алгебра конечномерна над полем k, и б е с к о н е ч н ы м, если эта алгебра бесконечномерна. Размерность этой алгебры наз. с т е п е н ь ю р а с ш и р е н и я K/k; и обозначается . Каждое конечное Р. является алгебраическим и каждое алгебраическое Р. конечного типа - конечным. Степень простого алгебраического Р. совпадает со степенью соответствующего минимального многочлена. Напротив, простое трансцендентное Р. бесконечно.

Пусть дана последовательность расширений KМLМ ММ. Расширение М/Kявляется алгебраическим тогда и только тогда, когда и L/Kи M/L - алгебраические Р. Далее, M/Kконечно тогда и только тогда, когда конечны L/Kи M/L, причем

Если P/kи Q/k - два алгебраических Р. и PQ - композит нолей Ри Qв нек-рoм их общем надполе, то PQ/kтакже алгебраическое Р.

См. также Сепарабелъное расширение, Трансцендентное расширение.

Лит.:[1] Б у р б а к и Н., Алгебра. Многочлены и поля. Упорядоченные группы, пер. с франц., М., 1965; [2] В а н д е р В а р д е н Б. Л., Алгебра, 2 изд., пер. с нем., М., 1979; [3] 3 а р и с с к и й О., С а м ю э л ь П., Коммутативная алгебра, т. 1, пер. с англ., М., 1963; [4] Л е н г С., Алгебра, пер. с англ., М., 1968. О. А. Иванова.