G-РАССЛОЕНИЕ,

Значение G-РАССЛОЕНИЕ, в математической энциклопедии:

р а с с л о е н и е с о с т р у кт у р н о й г р у п п о й,- обобщение понятия прямого произведения двух топологич. пространств.

Пусть G - топологич. группа, а X - эффективное правое G-пространство, т. е. топологич. пространство с заданным правым действием группы Gтаким, что xg-x влечет g=l, . Пусть подмножество таких пар ( х, х'), что x' = xg для нек-рого - пространство орбит и - отображение, сопоставляющее с каждой точкой ее орбиту. Если отображение непрерывно, то набор (X, р, В )наз. г л а в н ы м р а с с л о е н и е м с о с т р у к т у р н о й г р у п п о й G.

Пусть F - левое G-пространство. Топологич. пространство снабжается правым действием группы G по формуле . Композиция .. индуцирует отображение (здесь Х _F - пространство орбит действия G на ). Набор наз. р а с с л о е н и е м с о с т р у к т у р н о й г р у п п о й, а с с о ц и-и р о в а н н ы м с г л а в н ы м р а с с л о е н и е м x, а набор - р а с с л о е н и е м с о с л о е м F, б а з о й В и с т р у к т у р н о й г р у пп о й G. Таким образом, главное расслоение со структурной группой является частью структуры любого расслоения со структурной группой, и оно однозначно определяет расслоение для любого левого G-пространства F.

Если - два главных расслоения со структурной группой G. то морфизмом

наз. отображение G-пространств Отображение hиндуцирует отображение Главное расслоение со структурной группой наз. т р и в и а л ь н ы м, если оно изоморфно расслоению следующего вида:

Пусть (X, р, В) - главное расслоение и - непрерывное отображение произвольного топологич. пространства В' в В. Пусть подмножество таких пар (b, х), что f(b)=p(x). Проекция индуцирует отображение . Пространство X' обладает естественной структурой правого G-пространства, и тройка (X', р', В' )представляет собой главное расслоение, оно индуцировано расслоением (X, р, В )с помощью отображения f и наз. и н д у ц и р о в а н н ы м р а с с л о е н и е м. Если - включение подпространства, то (X¹, р', В' )наз. ограничением (X, р, В). над подпространством В'.

Главное расслоение со структурной группой наз. локально т р и в и а л ь н ы м, если его ограничение на нек-рую окрестность любой точки базы Втривиально. Для широкого класса случаев требование локальной тривиальности излишне (напр., если G - компактная группа Ли, X - гладкое G-многообразие). Поэтому часто термин "расслоение" со структурной группой используется в смысле локально тривиального расслоения (или косого произведения).

Пусть пара расслоений с одной структурной группой и одним G-пространством в качестве слоя. Для морфизма главных расслоений отображение индуцирует непрерывное отображение , и пара (h,j) наз. морфизмом расслоений со структурной группой

Локально тривиальное расслоени h=( Х _F, р _F, F,x) допускает следующее описание, лежащее в основе другого, также общепринятого определения расслоения со структурной группой. Пусть U={и _a} - открытое покрытие базы Вдля к-рого ограничение hна и _a при всех a тривиально. Выбор тривиализации и их сравнение на пересечениях приводит к непрерывным функциям (наз. ф у н к ц и я м и п е р ех о д а) . В пересечениях трех окрестностей имеет место равенство , а выбор других тривиализации над каждой окрестностью приводит к новым функциям . Таким образом, функции образуют одномерный коцикл в смысле Александрова - Чеха с коэффициентами в пучке ростков G-значных функций (коэффициенты неабелевы), и локально тривиальное расслоение определяет этот коцикл с точностью до кограницы.

Лит.:[1] Х ь ю з м о л л е р Д., Расслоенные пространства, пер. с англ., М., 1970; [2] С т и н р о д Н., Топология косых произведений, пер. с англ., М., 1953. А. Ф. Харшиладзе.