РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИЯ

Значение РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИЯ в математической энциклопедии:

к а к о й - л и б о с л у ч а й н о й в е л и ч и н ы X - функция действительного переменного х, принимающая при каждом хзначение, равное вероятности неравенства Х<x.

Каждая Р. ф. F(х)обладает следующими свойствами:

1) при ;

2) F(х)непрерывна слева при каждом х;

(иногда Р. ф. определяют как вероятность неравенства , и тогда она оказывается непрерывной справа). В математич. анализе Р. ф. называют любую функцию, для к-рой имеют место свойства 1) - 3). Существует взаимно однозначное соответствие между распределениями вероятностей Р _F на s-алгебре борелевских подмножеств числовой прямой и Р. ф. Это соответствие определяется формулой: для любого интервала [a, b)

Каждая функция F, обладающая свойствами 1)-3), может рассматриваться как Р. ф. нек-рой случайной величины X(напр., случайной величины X(x) = x, заданной на вероятностном пространстве

Всякая Р. ф. может быть однозначно представлена в виде суммы

где a₁, а ₂, а₃ - неотрицательные числа, сумма к-рых равна 1, а F₁, F₂, F₃ - Р. ф. такие, что F₁(x)абсолютно непрерывна:

F₂(x) -"ступенчатая функция":

где -точки скачков F(x), а пропорциональны размеру этих скачков; F₃(x) -"сингулярная" компонента - непрерывная функция, производная к-рой почти всюду равна нулю. <иП р и м е р. Пусть ,- бесконечная последовательность независимых случайных величин, принимающих значения 1 и 0 с вероятностями и , соответственно. Пусть

тогда

1) если при всех k, то Xимеет абсолютно непрерывную Р. ф. (с p(x)=1для , т. е. X равномерно распределена на [0, 1]);

2) если , то Xимеет "ступенчатую"

Р. ф. (она имеет скачки во всех двоично-рациональных точках отрезка [0, 1]);

3) если при , то X имеет "сингулярную" Р. ф.

Этот пример является иллюстрацией одной теоремы П. Леви (P. Levy), в соответствии ск-рой предел бесконечной свертки дискретных Р. ф. может содержать только одну из указанных выше компонент. "Расстояние" между распределениями P> и Q на числовой прямой часто определяют в терминах соответствующих Р. ф. Fи S, полагая, напр.,

или

(см. Распределений сходимость. Леви метрика, Характеристическая функция).

Р. ф. наиболее употребительных распределений вероятностей (напр.. нормального, биномиального, пуассоновского распределений) табулированы.

Для проверки гипотез о Р. ф. Fпо результатам независимых наблюдений используют так или иначе измеренное отклонение Fот эмпирической Р. ф. (см. Колмогорова критерий, Колмогорова - Смирнова критерий, Крамера- Мизеса критерий).

Понятие Р. ф. естественным образом распространяется на многомерный случай, но многомерные Р. ф. значительно менее употребительны, чем одномерные.

О приближенном представлении Р. ф. см. Грама - Шарлье ряд, Эджворта ряд, Предельные теоремы.

Лит.:[1] К р а м е р Г., Случайные величины и распределения вероятностей, пер. с англ., М., 1947; [2] е г о ж е, Математические методы статистики, пер. с англ., 2 изд., М., 1975; [3] Ф е л л е р В., Введение в теорию вероятностей и ее приложения, пер. с англ., 2 изд., т. 1 - 2, М., 1967; [4] Б о л ь ш е в Л. Н., С м и р н о в Н. В., Таблицы математической статистики, 2 изд., М., 1968. Ю. В. Прохоров.