БИГАРМОНИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ

Значение БИГАРМОНИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ в математической энциклопедии:

функция действительных переменных, определенная в области евклидова пространства , , имеющая непрерывные частные производные до 4-го порядка включительно и удовлетворяющая в уравнению

где D -оператор Лапласа. Это уравнение наз. бигарионическим уравнением. Класс Б. ф. включает класс гармонических функций и является подклассом класса полигармонических функций. Каждая Б. ф. есть аналитич. функция от координат .

Наибольшее значение с точки зрения приложений имеют Б. ф. двух переменных. Такие Б. ф. представимы при помощи гармонич. функций или в виде

или

где - постоянная. Основная краевая задача для Б. <ф. состоит в следующем: найти Б. ф. в области , непрерывную вместе с производными 1-го порядка в замкнутой области и удовлетворяющую на границе Сусловиям

где - производная по нормали к - заданные непрерывные функции дуги на контуре С. Указанные выше представления Б. ф. позволяют получить решение задачи (*) в явном виде в случае круга D, исходя из интеграла Пуассона для гармонич. функций (см. [1]).

Б. <ф. двух переменных допускают также представление

при помощи двух аналитич. функций комплексного переменного . Это представление позволяет свести краевую задачу для произвольной области к системе краевых задач для аналитич. функций, метод решения к-рой подробно разработан Г. В. Колосовым и Н. И. Мусхелишвили. Эта методика получила развитие при решении различных плоских задач теории упругости, в к-рых основной Б. ф. является функция напряжений, или Эйри функция (см. [2], [3]).

Лит.:[1] Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, 3 изд., М., 1966, гл. 4; [2] Мусхелишвили Н. И., Некоторые основные задачи математической теории упругости, 5 изд., М., 1966, гл. 2; [3] Лаврентьев М. А., Ша6ат Б. В., Методы теории функций комплексного переменного, 3 изд., М., 1965.

Е. Д. Соломенцев.