РАЗЛОЖЕНИЕ ЕДИНИЦЫ

Значение РАЗЛОЖЕНИЕ ЕДИНИЦЫ в математической энциклопедии:

- однопараметрическое семейство , проекционных операторов, действующих в гильбертовом пространстве , такое, что

1) , если l<m;

2) Е _l сильно непрерывно слева, т. е. Е _l-0 -Е_l для любого ;

3) при и при , здесь О и Е - нулевой и единичный операторы в пространстве . Условие 2} можно заменить на условие непрерывности справа в каждой точке

Всякий самосопряженный оператор А, действующий в , порождает соответствующее ему вполне определенное Р. е. При этом кроме условий 1)-3) выполняются еще условия:

4) если В - ограниченный оператор такой, что ВА=АВ, то ВЕ_l=Е_l В для любого А;

5) если А- ограниченный оператор, т, М - его нижняя и верхняя грани соответственно, то

и Е _l=Е при

Р. е., порожденное оператором А, полностью определяет спектральные свойства этого оператора, а именно:

(а) точка Кесть регулярная точка оператора Атогда и только тогда, когда она является точкой постоянства, т. е. когда существует d>0 такое, что для

(Р) точка l₀ есть собственное значение оператора Атогда и только тогда, когда в этой точке Е _l имеет скачок, т. е. ;

(у) если , то есть инвариантное подпространство оператора А.

Поэтому Р. е., порожденное оператором А, наз. также спектральной функцией этого оператора.

Обратно, каждое Р. е. {Е _l} однозначно определяет самосопряженный оператор A, для к-рого это Р. е. является спектральной функцией. Область определения D(А).оператора Асостоит из тех и только тех , для к-рых и имеет место представление оператора Ав виде операторного интеграла Стилтьеса

Лит.:[1] Р и с с Ф., С ё к е ф а л ь в и - Н а д ь Б., Лекции по функциональному анализу, пер. с франц., 2 изд., М., 1979; 12] А х и е з е р Н. И., Г л а з м а н И. М., Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, 2 изд., М., I960; [3] К а н т о р о в и ч Л. В., А к и л о в Г. П., Функциональный анализ, 2 изд., М., 1977. В. И. Соболев.