ПУАНКАРЕ УРАВНЕНИЯ

Значение ПУАНКАРЕ УРАВНЕНИЯ в математической энциклопедии:

общие уравнения механики голономных систем, представимые с помощью нек-рой группы Ли бесконечно малых преобразований.

Пусть х _i, i=1,. . ., п,- переменные, определяющие положение голономной механич. системы, стесненной идеальными связями, зависящими явно от времени. Если система имеет kстепеней свободы, то существует интранзитивная группа бесконечно малых преобразований

позволяющая перевести систему в момент времени tиз положения x_i в бесконечно близкие действительное положение x_i+dx_i и возможное положение x_i+dx_i бесконечно малыми преобразованиями группы (Х ₀+) dt и подгруппы соответственно. Здесь w_a и h_a - независимые переменные, определяющие соответственно возможные и действительные перемещения системы,- связаны уравнениями

если группа возможных перемещений Х _a определена своими структурными постоянными c_ab_i:

а оператор Х ₀ перестановочен с группой возможных перемещений

Эти условия далее предполагаются выполненными. П. у. имеют вид обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка

(1) где j - 1, ..., k,

-функция Лагранжа, T(t, х,h).- кинетич. энергия, U(t, x) - силовая функция.

Уравнения (1) были получены впервые А. Пуанкаре (см. [1]) для случая транзитивной группы возможных перемещений, когда связи не зависят явно от времени, и применены (см. [2]) для исследования движения твердого тела с эллипсоидальной полостью, целиком заполненной идеальной жидкостью, совершающей однородное вихревое движение. Н. Г. Четаев (см. [3]) обобщил П. у. на случай интразитивной группы перемещений, когда связи зависят явно от времени, и разработал их теорию (см. [3]-[5]), а также преобразовал к более простому канонич. виду (см. Четаева уравнения). В частности, им был дан (см. [5]) метод построения группы возможных и действительных перемещений, когда голономные связи заданы в дифференциальной форме, и введено важное понятие циклич. перемещения.

Перемещения X_r, r=s+1, . . ., k, наз. циклическими, если они удовлетворяют условиям:

1) X_rL = 0,

2)(X_rX_b) = 0, r = s + 1, ..., k,b = 1, ..., k.

Согласно 2) циклич. перемещения X_r образуют абелеву подгруппу группы возможных перемещений, перестановочную со всеми операторами Х _b. Для циклич. перемещений существуют первые интегралы П. у.

Из этих соотношений переменные h_r можно выразить через постоянные а _r и переменные t, х _i,h₁ ,. . ., h_s и ввести функцию Рауса

Тогда для нециклич. перемещений П. у. принимают вид уравнений

(2)

После интегрирования уравнений (2) значения h_r определяются равенствами

Если дополнительно выполняются равенства с _a_j_g=0, a, j=1, . . ., s; g=s+1 ,..., k, т. е. если нециклич. перемещения Х _b,b=1, . . ., k, представляют собой подгруппу группы возможных перемещений, то по отношению к этой подгруппе рассматриваемая механич. система образует как бы самостоятельную голономную систему с s степенями свободы, описываемую уравнениями (1) при a, j, b=1, . . ., s, где роль функции Lиграет функция R.

П. у. содержит как частные случаи: Лагранжа уравнения, когда группа преобразований, увеличивающая одну из переменных на бесконечно малую постоянную, приводится к группе перестановочных между собой преобразований; Эйлера уравнения вращения твердого тела, когда роль h_i играют проекции р, q, r мгновенной угловой скорости.

Лит.:[1] РоinсаreН., "С. г. Acad. sci.", 1901, t. 132, p. 369-71; [2] его же, "Ball. Astron.", 1910, t. 27, p. 321-56; [3] Четаев Н. Г., "Докл. АН СССР", 1928, № 7, с. 103-04; [4]его же, "С. г. Acad. sci.", 1927, t. 185, p. 1577-78; [5] его же, "Прикл. матем. и механ.", 1941, т. 5, №2, с. 253-62.

В. В. Румянцев.