ПРОЕКТИВНОЕ МНОЖЕСТВО

Значение ПРОЕКТИВНОЕ МНОЖЕСТВО в математической энциклопедии:

множество, к-рое может быть получено из борелевских множеств повторным применением операций проектирования и перехода к дополнению. П. м. классифицируются по классам, образующим проективную иерархию. Пусть I=w^w- бэровское пространство (гомеоморфное пространству иррациональных чисел). Множество принадлежит: 1) классу А ₁, если Ресть проекция борелевского множества пространства I^m+1; 2) классу СА _п (Ресть СА _п- множество), если его дополнение I^m Р есть A_n -множество ; 3) классу А _п (Ресть А _n -множество), если Ресть проекция СА _n-1 -множества пространства ; 4) классу В _п, если Рпринадлежит одновременно классам А _п и СА _n, . Те же классы получаются заменой проекции непрерывным образом (множества того же пространства I^т).

В силу Суслина теоремы класс А ₁ совпадает с классом А -множеств (следовательно, класс СА ₁ - с классом СА-множесщв), а класс В ₁ - с классом борелевских множеств. Для каждого класса А _п построено универсальное множество, и при его помощи доказана следующая теорема о проективной иерархии (теорема "существования", теорема "о непустоте классов"): (следовательно, ), где каждое из включений - строгое. Мощность множества всех П. м. пространства I^. равна .

Каждое А ₂ -множество - объединение борелевских множеств и, значит, счетно или имеет мощность или (см. [2], [7]). Для класса А ₂ выполнены принципы униформизации и редукции, а для класса СА ₂ - (первый) принцип отделимости. Каждый из проективных классов с номером инвариантен относительно А-операции. Для каждого из классов А _n, СА _п существует ds-операция, дающая в точности все множества этого класса, исходя из замкнутых множеств. Изучение П. м. (даже второго класса) - трудная задача. Многие вопросы теории П. м. оказались неразрешимыми в классич. смысле, что полностью подтвердило предвидение (см. [6]): "область П. м. есть область, где принцип исключенного третьего уже не применим". Теория П. м. получила свое дальнейшее продвижение с привлечением сильных теоретико-множественных предположений, таких, как МС (существует измеримый кардинал), PD (аксиома проективной определимости), V=L.

В предположении МС: каждое А ₂ - множество измеримо (по Лебегу), обладает Бэра свойством и, если несчетно, содержит (непустое) совершенное подмножество; каждое А ₃ -множество может быть униформизировано А ₄ -множеством.

В предположении PD:1) каждой П. м. измеримо, обладает свойством Бэра и, если несчетно, содержит совершенное подмножество, может быть униформизировано П. м., точнее: принцип униформизации выполнен для классов A_2n и СА _2п+1;2) для классов А _2n и CA_2n+1 выполнен принцип редукции, следовательно, для классов А _2п+1 и СА _2п - принцип отделимости.

В предположении V=L:1) существует несчетное СА- множество, не содержащее совершенного подмножества, и неизмеримое B₂ -множество без свойства Бэра; 2) при для класса A_n выполнен принцип униформизации.

Если для класса А _п выполнен принцип униформизации, то выполнен и принцип редукции. При обратная импликация не доказуема в ZFC. Если существует неизмеримое (или без свойства Бэра) А ₂ -множество, то существует несчетное СА - множество, не содержащее совершенного подмножества. Если каждое несчетное СA -множество содержит совершенное подмножество, то это же верно для каждого несчетного А ₂ -множества (см. [7]).

Отмеченные результаты справедливы не только для пространства I, но и для числовой прямой и, вообще, для любого полного сепарабельного метрич. пространства. Имеет место следующая теорема о топологич. инвариантности П. м.: гомеоморфный образ П. м. данного класса, расположенный в том же или любом другом полном сепарабельном метрич. пространстве, есть П. м. того же класса.

Лит.:[1] Лузин Н. Н., "С. r. Acad. sei.", 1925, v. 180, p. 1572 (пер.: [6], с. 304-306); [2] Sierpirtski W., "Fund, math.", 1925, t. 7, p. 237-43; [3] Куратовский К., Топология, пер. [с англ.], т. 1, М., 1966; [4] Куратовский К., Мостовский А., Теория множеств, пер. с англ., М., 1970; [5] Siеrрirtski W., Les ensembles projectifs et analytiques, P., 1950; [В] Лузин Н. Н., Собр. соч., т. 2, М., 1958, с. 242, 268; [7] Jech Т., Set theory, N.Y., 1978; [81 Hinman P., Recursion theoretic hierarchies, В., 1978; [9] Новиков П. С., Избр. труды, М., 1979; [10] Козлова 3. И., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1962, т. 26, № 2, с. 223-60; [11] Канторович Л. В., Ливенсон Е. М., "Fund, math.", 1932, t. 18, p. 214-79; [12] Martin D., в кн.: Handbook of mathematical logic, Amst., 1977, p. 783-815; [13] Моsсhоvakis Y., в кн.; Proc. of the Inter. Congr. of Mathem. (Vancouver, 1974), v. 1, Montreal, 1975, p. 251 - 57; [14] Кановей В. Г., "Докл. АН СССР", 1980, т. 253, № 4, с. 800-03; [15] Любецкий В. А., в сб.: Исследования по теории множеств и неклассич. логикам, М., 1976, с. 96-122; [16] Keehris А., в кн.: Logic colloquim'77, Amst., 1978, p. 155-60; [17] Mau1din R., "Mathematika", 1976, v. 23, .Ms 2, p. 151-55; [18] Marcus S., "Math. Nachr.", 1959, Bd 17, № 3-6, S. 143-50; [19] Козлова З. И., Филиппов В. П., "Изв. ВУЗов. Матем.", 1978, №7, с. 33 - 39.

А. Г. Елъкин.