ПРИМАРНЫЙ ИДЕАЛ

Значение ПРИМАРНЫЙ ИДЕАЛ в математической энциклопедии:

коммутативного кольца R - такой идеал , что если и , то либо , либо для нек-рого натурального числа п. В кольце целых чисел П. и.- идеал вида , где р - простое, п - натуральное число. Важную роль в коммутативной алгебре играет представление любого идеала коммутативного нётерова кольца в виде пересечения конечного числа П. и.- примарное разложение. Более общо, пусть Ass(M).обозначает множество первичных идеалов кольца R, являющихся ан-нуляторами ненулевых подмодулей модуля М. Подмодуль Nмодуля Мнад нётеровым кольцом Rназ. примерным, если Ass(M/N) - одноэлементное множество. Если кольцо Rкоммутативно, то любой собственный подмодуль нётерова R-модуля, не пред-ставимый в виде пересечения двух строго содержащих его подмодулей, примарен. В некоммутативном случае это не так, поэтому предпринимались попытки построить различные некоммутативные обобщения понятия примарности. Напр., собственный подмодуль Nмодуля Мназ. примарным, если для любого ненулевого инъективного подмодуля Е' инъективной оболочки Емодуля M/N пересечение ядер гомоморфизмов из E в Е' тривиально. Другое удачное обобщение - понятие терциарного идеала [4]: левый идеал I нётерова слева кольца Rназ. терциарным, если для любых элементов из следует, что для любого найдется элемент такой, что . Оба эти обобщения приводят к некоммутативным аналогам примарного разложения. Каждый терциарный идеал нётерова кольца Rпримарен в том и только в том случае, когда кольцо Rудовлетворяет условию Артина - Риса: для любых левых идеалов I, J кольца Rнайдется натуральное число птакое, что (см. [3]).

Лит.:[1] Бурбаки Н., Коммутативная алгебра, пер. с франц., М., 1971; [2] Зарисский О., Самюэль П., Коммутативная алгебра, пер. с англ., т. 1, М., 1963; [3] Gо1dmаn О., "J. Algebra", 1969, v. 13, № i,p. 10-47; [4] Lesieur L., Croisot R., Algebre noetherienne non commutative, P., 1963. В. Т. Марков.