ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

Значение ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО в математической энциклопедии:

- раздел комплексного анализа, изучающий вопросы приближенного представления (аппроксимации) функций комплексного переменного посредством аналитич. ций специальных классов. Основными в теории П. ф. к. п. являются задачи о возможности приближения, скорости приближения и об аппроксимационных свойствах различных способов представления функций (интерполяционных последовательностей и рядов, рядов по ортогональным многочленам и многочленам Фабера, разложений в непрерывные дроби и аппроксимаций Паде, последовательностей полиномов из экспонент и рядов Дирихле и т. п.). Теория П. ф. к. п. тесно связана с другими разделами комплексного анализа и математики в целом; в теории приближений важную роль играют методы и результаты конформных отображений, интегральные представления, теория потенциала, теория функциональных алгебр и др.

Центральная проблематика теории П. ф. к. п. относится к приближению функций многочленами и рациональными функциями, в частности многочленами и рациональными функциями наилучшего приближения (существование, характеристич. свойства, единственность), а также экстремальные задачи и различные оценки для многочленов и рациональных функций (оценки роста, неравенства для производных, многочлены и рациональные функции, наименее уклоняющиеся от нуля, и т. <п.). А. А. Гончар.

Приближение функций комплексного переменного многочленами и рациональными функциями. В этом разделе теории П. ф. к. п. можно выделить несколько направлений.

1) Изучение возможности приближения функции f(z) комплексного переменного z с любой наперед заданной точностью посредством многочленов и рациональных функций от z в зависимости от свойств того множества Е, на к-ром задана f и на к-ром происходит приближение, от свойств метрики уклонения r и, наконец, от свойств самой функции f.

2) Изучение свойств многочленов и рациональных функции наилучшего приближения, т. е. таких многочленов Р _п(z; f, E,r) и рациональных функций R_n(z; f, Е,r).степени не выше и, n=0, 1, ... , для к-рых

где нижние грани берутся соответственно по всем многочленам Р(z) степени deg Pпи рациональным функциям R(z) степени deg Rп(либо по части множества таких многочленов или рациональных функций, выделяемой какими-либо дополнительными условиями). По существу здесь идет речь о свойствах решений нек-рого класса экстремальных задач. Сюда можно отнести также изучение и других экстремальных задач на множествах многочленов, рациональных функций и на нек-рых классах аналитич. ций, а также исследования аналитич. свойств многочленов и рациональных функций (в частности, получение неравенств между различными нормами этих функций и их производных).

3) Изучение зависимости скорости убывания к нулю величин E_n(f, Е,r) и R_n(f, E,r) при от свойств f, Еи r (так наз. прямые теоремы теории приближения) и зависимости свойств функции f от скорости убывания E_n(f, Е,r) или R_n(f, Е,r) к нулю при и свойств E и r (обратные теоремы). С этим направлением неразрывно связано изучение возможностей известных методов П. ф. к. и. (таких, как ряды по Фабера многочленам, различные интерполяционные процессы и т. п.) и отыскание новых эффективных методов приближения.

4) Приближение функций нескольких комплексных переменных. Здесь решаются в основном те же задачи, что и в случае одного переменного, однако результаты и методы их получения, как правило, резко отличаются от случая одного переменного.

Ниже отмечены нек-рые основные результаты.

1) Задачу о возможности сколь угодно хорошего равномерного приближения многочленами решают Рунге теорема (в случае аналитичности f на Е), Лаврентьева теорема (непрерывность f на Е), Келдыша теорема( Е - замкнутая область, f непрерывна на Еи аналитична внутри Е), Мергеляна теорема (в общем случае: Е- компакт, f непрерывна на Еи анаяитична во внутренних точках Е).

2) Задачу о возможности приближения голоморфной функции на замкнутом подмножестве Ерасширенной комплексной плоскости решает теорема Рунге. При изучении возможности приближения функций f из различных пространств в метрике этих пространств посредством рациональных функций важную роль играют количественные характеристики множеств , аналогичные аналитической емкостиg(е). В терминах g(е).задача об описании компактов Е, на к-рых любая непрерывная функция с любой точностью приближается рациональными функциями, решается следующим образом: необходимо и достаточно выполнение либо условия

(а)

для любого круга либо условия

(б) для любого (эквивалентность условий (а) и (б) выражает т. н. "неустойчивость" аналитической емкости).

3) Если Еограничено и измеримо йо Лебегу и 1р<2, то множество всех рациональных функций плотно в пространстве L^p(E).

4) Если р>0, G - односвязная область с жордановой спрямляемой границей, то семейство всех многочленов от z плотно в Смирнова классе E_p(G).тогда и только тогда, когда G - Смирнова область.

5) Пусть комплекснозначные функции (j₁(z), ... , j_n(z), f(z) непрерывны на компакте . Среди всех обобщенных полиномов вида

( с ₁, ... , с _n - произвольные комплексные числа) обобщенный полином P₀(z).является наименее уклоняющимся от f по метрике

тогда и только тогда, когда

для каждого P(z).

6) Если Е - компакт со связным дополнением Gи в G существует Грина функция (первой краевой задачи для уравнения Лапласа) g(z, ) с полюсом в , то при для любого многочлена Р(z) степени псправедливо неравенство

7) Если Е - ограниченный невырожденный континуум со связным дополнением G, f(z) непрерывна на Ес модулем непрерывности w(d) и аналитична во внутренних точках E, то

где

Если замкнутая область ограничена аналитической кривой Г, то условие

эквивалентно выполнению для f^(p)(z) в G условия Гельдера порядка a, 0<a<1. Изучен также случай, когда Г - кусочно гладкая кривая с углами.

8) В ряде случаев эффективным аппаратом приближения аналитич. ций являются различные интерполяционные процессы, в том числе Паде аппроксимации и их обобщения.

9) При n2 в существуют как незамкнутые жордановы кривые, на к-рых не каждая непрерывная функция равномерно с любой точностью приближается многочленами от (z₁ ,... , z_n), так и замкнутые жордановы кривые, на к-рых многочленами равномерно приближается любая непрерывная функция. В это невозможно.

10) К настоящему времени (1983) имеется сравнительно мало прямых теорем теории приближения рациональными функциями со свободными полюсами (т. е. без всяких условий на расположение полюсов приближающей функции) и значительное количество обратных теорем. Е. П. Долженко. Лит.:[1] Гончаров В. Л., Теория интерполирования и приближения функций, М., 1954; [2] Уолш Дж. Л., Интерполяция и аппроксимация рациональными функциями в комплексной области, пер. с англ., М., 1961 (там же, Приложение: Мергеля н С. Н., О некоторых результатах в теории равномерных и наилучших приближений полиномами и рациональными функциями, с. 461-99); [3] Смирнов В. И., Лебедев Н. А., Конструктивная теория функций комплексного переменного, М.-Л., 1964; [4] Дзядык В. К., Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами, М., 1977; [5] Русак В. Н., Рациональные функции как аппарат приближения, Минск, 1979; [6] Гамелин Т., Равномерные алгебры, пер. с англ., М., 1973; [7] Леонтьев А. Ф., Ряды экспонент, М., 1976; [8] Некоторые вопросы теории приближений, пер. с англ., М., 1963; [9] Келдыш М. В., "Докл. АН СССР", 1936, т. 4, с. 163-66; [10] Лаврентьев М. А., "Тр. Физ.-матем. ин-та АН СССР", 1934, т. 5, с. 159-245; [11] Колмогоров А. Н., "Успехи матем. наук", 1948, т. 3, в. 1, с. 216-21; [12] Мергелян С. Н., там же, 1952, т. 7, в. 2, с. 31-122; [13] Витушкин А. Г., там же, 1967, т. 22, в. 6, с. 141-99; [14] Джрбашян М. М., "Матем. сб.", 1955, т. 36, с. 353-440; 115] Гончар А. А., в кн.; Тр. Международного конгресса математиков. Москва, 1966, М., 1968, с. 329-56; [16] Долженко Е. П., Ульянов П. Л., "Вести. Моск. ун-та. Сер. матем. Мех.", 1980, № 1, с. 3-13; [17] Мергелян С. Н., в кн.: Математика в СССР за сорок лот, т. 1, М., 1959, с.383-98; [18] Гончар А. А., Мергелян С. Н., в кн.: История отечественной математики, т. 4, кн. 1, К., 1970, с. 112-93; [19] Тамразов П. М., Гладкости и полиномиальные приближения, К., 1975; [20] Мельников М. С., Синанян С. О., в кн.: Современные проблемы математики, т. 4, М., 1975, с. 143-250.