" 0 C F G H K L N P S T W Z А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Э Ю Я

ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КЛАССИЧЕСКИХ ГРУПП

Значение ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КЛАССИЧЕСКИХ ГРУПП в математической энциклопедии:

в тензорах - линейные представления групп GL(V), SL(V), 0(V,f), SO(V, f), Sp(V,f).(где V есть n-мерное векторное пространство над полем k, f - невырожденная симметрическая или знакопеременная билинейная форма на V).в инвариантных подпространствах тензорных степеней T^m(V).пространства V. Если k - поле нулевой характеристики, то все неприводимые полиномиальные линейные представления указанных групп реализуются в тензорах.

В случае перечисленные выше группы являются комплексными группами Ли. Для всех них, кроме GL(V), все (дифференцируемые) линейные представления полиномиальны; всякое линейное представление группы GL(V).имеет вид , где , a R - полиномиальное линейное представление. Классические компактные группы Ли U_n, SU_n, О _п, SO_n, Sp_n имеют те же комплексные линейные представления и те же инвариантные подпространства в пространствах тензоров, что и их комплексные оболочки

Поэтому результаты теории линейных представлений, полученные для классических комплексных групп Ли, переносятся на соответствующие компактные группы и наоборот ("унитарный трюк" Вейля). В частности, с помощью интегрирования по компактной группе доказывается полная приводимость линейных представлений классических комплексных групп Ли.

Естественное линейное представление группы GL(V).в пространстве T^m(V).определяется по формуле

В том же пространстве определено линейное представление симметрич. группы S_m:

Операторы этих двух представлений перестановочны; тем самым в T^m(V).определено линейное представление группы . Если char k=0, то пространство T^m(V).может быть разложено в прямую сумму минимальных - инвариантных подпространств:

Здесь суммирование происходит по всем разбиениям Кчисла т, содержащим не более пслагаемых, U_l - пространство абсолютно неприводимого представления T_l группы S_m, отвечающего разбиению l(см. Представление симметрической группы),a V_l -пространство нек-рого абсолютно неприводимого представления R_l группы GL(V). Разбиения l удобно представлять в виде наборов (l₁, l₂, . . ., l_n) целых неотрицательных чисел, удовлетворяющих условиям

Подпространство разлагается в сумму минимальных GL(V)-инвариантных подпространств, в каждом из к-рых реализуется представление R_l. Эти подпространства могут быть явно получены применением к T^m(V) Юнга симметризаторов, связанных с разбиением l. Напр., для разбиения l=( т,0, . . ., 0) (соответственно l=(1,...,1,0,...,0) при ) dim U_l = 1 и есть минимальное GL(V)-инвариантное подпространство, состоящее из всех симметрич. (соответственно кососимметрич.) тензоров.

Представление R_l характеризуется следующими свойствами. Пусть - подгруппа, состоящая из линейных операторов, к-рые в нек-ром базисе ( е ₁,...,е _п).пространства Vзаписываются верхними треугольными матрицами. Тогда операторы , имеют единственный (с точностью до числового множителя) общий собственный вектор v_l, называемый старшим вектором представления R_l. Соответствующее собственное значение (старший вес представления R_l) равно , где b_ii есть i-й диагональный элемент матрицы оператора bв базисе (e₁ ,. . ., е _п).

Представления R_l,, отвечающие различным разбиениям l, не эквивалентны. Характер представления R_l находится по формуле Вейля:

где z₁, . . ., z _п- корни характеристич. многочлена оператора g, W_l - обобщенный определитель Вандер-монда, отвечающий разбиению l (см. Фробениуса формула), W₀- обычный определитель Вандермонда. Размерность представления R_l, равна

,

где l_i=l_i+n-i.

Ограничение представления R_l, на унимодулярную группу SL(V).неприводимо. Ограничения на SL(V).представлений R_l, и R_m, эквивалентны тогда и только тогда, когда m_i=l_i+s (s не зависит от i). Ограничение представления R_l группы GL_n(k).на подгруппу GL_n-1(k) находится по правилу:

где m пробегает все наборы (m₁, . . ., m._n-1), удовлетворяющие условию

Для всякой диаграммы Юнга d, отвечающей разбиению l, тензор (обозначения см. в ст. Представление симметрической группы).является результатом альтернирования по столбцам диаграммы dтензора , где i_k - номер строки диаграммы d, в к-рой находится число k. Тензоры, построенные таким образом по всем стандартным диаграммам d, образуют базис минимального S_m -инварИантного подпространства , в к-ром реализуется представление Т _l, группы S_m.

Линейное представление ортогональной группы 0(V, f) в пространстве T^m(V).устроено следующим образом. Имеется разложение в прямую сумму двух -инвариантных подпространств:

где состоит из бесследных тензоров, т. е. тензоров, свертка к-рых с формой f по любым двум индексам равна нулю, а

Пространство в свою очередь разлагается в прямую сумму минимальных -инвариантных подпространств:

где . При этом тогда и только тогда, когда сумма высот первых двух столбцов таблицы Юнга, отвечающей разбиению l, не превосходит п, и в этом случае есть пространств абсолютно неприводимого представления группы 0(V, f). Представления , отвечающие различным разбиениям l, не эквивалентны. Если разбиение l удовлетворяет условию , то после замены первого столбца его таблицы Юнга столбцом высоты п-l'₁ получается таблица Юнга нек-рого разбиения , также удовлетворяющего этому условию. Соответствующие представления группы O(V, f) связаны соотношением (в частности, они имеют одинаковую размерность).

Ограничение представления R⁰_l, на подгруппу SO(V, f) абсолютно непрпводимо, за исключением случая, когда пчетно и (т. е. число слагаемых разбиения l равно n/2). В этом последнем случае оно распадается над полем kили его квадратичным расширением в сумму двух неэквивалентных абсолютно неприводимых представлений одинаковой размерности.

При вычислении размерности представления можно считать, что (в противном случае следует заменить Кна X). Пусть l_i=l_i+n/2-i. Тогда при нечетном п

, а при четном пи

При последняя формула дает половину размерности представления , т. е. размерность каждого из соответствующих ему абсолютно неприводимых представлений группы SO(V, f).

Разложение пространства T^m(V).относительно симплектич. группы Sp(V, f) аналогично разложению относительно ортогональной группы, с той разницей, что тогда и только тогда, когда . Размерность представления находится в этом случае по формуле

где l_i=l_i+n/2-i+1.

Лит.:[1] Вейль Г., Классические группы, их инварианты и представления, пер. с англ., М., 1947; [2] Желобенко Д. П., Компактные группы Ли и их представления, М., 1970; [3] Xамсрмеш М., Теория групп и ее применение к физическим проблемам, пер. с англ., М., 1966.

Э. Б. Винберг.