|
"
0
C
F
G
H
K
L
N
P
S
T
W
Z
А
Б
В
Г
Д
Е
Ж
З
И
Й
К
Л
М
Н
О
П
Р
С
Т
У
Ф
Х
Ц
Ч
Ш
Э
Ю
Я
ПРЕДЕЛЬНОЕ МНОЖЕСТВОЗначение ПРЕДЕЛЬНОЕ МНОЖЕСТВО в математической энциклопедии: траектории {ftx} динамической системы ft- множество А х всех a-предельных точек (a-предельное множество) или множество Wx всех сопредельных точек (w-предельное множество) этой траектории (см. Предельная, точка траектории). Для траектории {ft х} системы (или, иначе, f(t, х), см. [1]) a-П. м. (соответственно w-П. м.) - то же, что w-П. м. (соответственно a-П. м.) траектории {f-t х} динамич. системы f-t (системы с обращением времени). Поэтому свойства a-П. м. аналогичны свойствам w-П. м. Множество Wx - замкнутое инвариантное множество. Если Если точка хположительно устойчива по Лагранжу (см. Устойчивость по Лагранжу), то Wx- непустое связное множество, (где d(z, Y).- расстояние от точки z до множества Y) и в Wx найдется рекуррентная точка (траектория). Если х - неподвижная точка, то Wx={x}. Если х - периодич. точка, то где Г - период. Если точка хположительно устойчива по Пуассону, но не неподвижная и не периодическая, а метрич. пространство, на к-ром задана рассматриваемая динамич. система, полно, то в Wx всюду плотны точки, не принадлежащие траектории {ft х}. Если динамич. система задана на плоскости автономной системой дифференциальных уравнений (гладким векторным полем f(x)), точка хположительно устойчива по Лагранжу, но не периодическая и f(х).не обращается в нуль на множестве Wx (т. е. множество Wx не содержит неподвижных точек), то Wx- цикл, т. е. замкнутая кривая (траектория периодич. точки), а траектория {ftx} при Лит.:[1]Немыцкий В. В., Степанов В. В., Качественная теория дифференциальных уравнений, 2 изд., М.- Л., 1949; [2] Понтрягив Л. С., Овыкновенные дифференциальные уравнения, 4 изд., М., 1974. В. М. Миллионщиков. |
|
|
|
, то траектория {ft х} наз. уходящей в положительном направлении; если 
, то траектория {ft х} наз. уходящей в отрицательном направлении; если 
, то траектория наз. уходящей. Если 
, то точка хназ. положительно устойчивой по Пуассону; если 
, то точка хназ. отрицательно устойчивой по Пуассону; если 
, то точка хназ. устойчивой по Пуассону. Если 
и 
, то точка хназ. положительно асимптотической; если 
и 
, то точка хназ. отрицательно асимптотической.
спиралевидно наматывается на этот цикл. У динамич. систем, заданных на 
, или на нек-рых двумерных поверхностях, напр, на торе, w-П. м. могут быть устроены иначе. Напр., у иррациональной обмотки тора (система 
- циклич. координаты на торе Т 2,m, - иррациональное число) множество Wx для всякой точки х=(j, y) совпадает со всем тором.