" 0 C F G H K L N P S T W Z А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Э Ю Я

ПОСТНИКОВА СИСТЕМА

Значение ПОСТНИКОВА СИСТЕМА в математической энциклопедии:

натуральная система, гомотопическая резольвента, П-разложение общего типа,- последовательность расслоений

слоями к-рых являются Эйленберга - Маклейна пространства К(p _п, п), где p _п - нёк-рая группа (абелева при п>1). Введена М. М. Постниковым [1]. Пространство Х _п наз. n-м членом (или n-м этажом) П:с. {p _п: Х _nX_n-1}. П. с. {р _n: Х _п Х _п-1} наз. сходящейся к пространству X, если ее обратный предел слабо гомотопически
эквивалентен пространству X. В этом случае пространство А' наз. пределом П. с. {р _n: Х _пX_n-1}. Морфизмом П. с. {р _п: Х _п Х _п_₁]. в П. с. {q_n:Y_nY_n-1} наз. последовательность непрерывных отображений f_n:X_nY_n, для к-рых диаграмма гомотопически коммутативна. М орфизм {f_n} индуцирует отображение , называемое его пределом.

Из определения П. с. следует, что для каждого и 1 отображение p_n является ( п-1)-эквнвалентностью (см. Гомотопический тип), в частности p_i(X_n-1)p_i(X_n). при i< п,p_n(X_n)p_n и p_i(X_n)=0 при i> п. Пространства Xи Х _п имеют один и тот же (n+1 )-тип. В частности, если П. с. конечна, т. е. для нек-рого числа Nпри всех n >N группа p_n тривиальна, то пространства X и X_N гомотопически эквивалентны. В общем случае при i п имеют место изоморфизмы Н _i( Х _п) Н _i (Х) иp_n(X_n)p_n(X), т. <е. с ростом n группы гомологии и гомотопич. группы стабилизируются. Для любого клеточного разбиения Кразмерности п множества [ К, X]и [ К, Х _n]совпадают. Характеристич. класс k_n= (X_n-1;{p_n}) расслоения

р _п: X _п X_n-1, т. е. образ при трансгрессии

фундаментального класса;p), наз. n-м k-инвариантом (или n-м постниковским фактором) П. с. или ее предела X. Для любого п 1 n-й член П. с., а потому и (n+1 )-тип пространства Xполностью определяются группами p₁,...,p_n и k-инвариантами k₁ ,. . ., k_n-1. Часто П. с. наз. двойная последовательность

Пространство Xтогда и только тогда является пределом П. с. { р _п: Х _пX_n-1}, когда существуют такие ( п -1)-эквивалентности r_n:X Х _n, что r_n-1~r_nor_n для любого n1. Аналогично характеризуются пределы морфизмов П. с.

Существует вариант понятия П. с., иногда оказывающийся более полезным. В этом варианте пространства X _п предполагаются клеточными разбиениями, обладающими тем свойством, что и , а отображения - такими клеточными отображениями (уже не являющимися расслоениями), что, во-первых, и, во-вторых, гомотопич. слой отображения р _п (т. е. слой этого отображения, превращенного в расслоение) является пространством К(p_n, п). Такие П. с. наз. клеточными. Пределом клеточной П. с. является клеточное разбиение X, для к-рого при любом п 1. Произвольная П. с. гомотопически эквивалентна клеточной П. с.

Основная теорема теории П. с. утверждает (см. [1], [6]), что каждое пространство Xявляется пределом нек-рой однозначно (с точностью до изоморфизма) определенной П. с. {р _п: Х _пX_n-1}. Эта П. с. наз. системой Постникова пространства X. Имеет место также вариант основной теоремы для отображений: любое отображение f: X Yявляется пределом нек-рого морфизма {f_n : Х _n Y_n} П. с. ( р _п: Х _п X_n-1} пространства Xв П. с. {q_n: Y_n Y_n-1} пространства Y. Этот морфизм наз. системой Постникова отображения f (др. названия: гомотопическая резольвента отображения, П-система общего типа отображения, система Мура- Постникова отображения). Для постоянного отображения с: X pt линейно связного пространства Xего П. с. совпадает с П. с. пространства X.

В приложениях большое распространение получили т. н. стандартные системы Постникова (к-рые зачастую наз. просто системами Постникова), представляющие собой П. с., составленные из главных расслоений р _п: Х _п Х _п-1, индуцирующихся из стандартных расслоений Серра К(p_n, n) ЕК(p_n, п+ 1) К(p_n, п+1) постниковскими факторами , интерпретируемыми в силу представимости групп когомологий как отображения k_n:X_n-1К(p_n,п+1). Стандартными П. с. обладают все пространства, гомотопически простые во всех размерностях (в терминологии [2] - абелевы пространства), и только они (см. [3], [4]).

Стандартные П. с. применяются для решения задач распространения и задач понятия, к которым сводятся многие задачи алгебраической топологии. Объединенная постановка этих задач заключается в следующем.

Пусть имеется (гомотопически) коммутативный квадрат пространств и отображений, в котором отображение i является замкнутым корасслоением с кослоем X/А, а р - расслоением со слоем F. Спрашивается, существует ли такое отображение , чтобы оба получающихся треугольника были (гомотопически) коммутативными. Далее, если такое отображение существует, то требуется вычислить множество гомотопич. классов отображений X Y " под А" (то есть rel A) и "над B".

Пусть для расслоения р: Y В существует стандартная П. с. {рД: Y_nY_n-1 Y₀=В} (для этого достаточно, напр., потребовать, чтобы пространства Y и Вбыли односвязными). Задачу относительного поднятия решают шаг за шагом.

Рассмотрим "элементарную" задачу относительного поднятия отображения f_n-1:XY_n__l с ( п-1)-го мена П. с, на п-й член П. с. (рис. 3).

Отображения f_n-1 и g_n-1 определяют отображение X/AК(p_n,(F), п+1), т. е. класс когомологий , называемый препятствием. Отображение f_n-1 тогда и только тогда можно поднять в Y_n когда с ⁿ⁺¹=0. Два поднятия и определяют элемент , называемый различающей, к-рый тогда и только тогда равен нулю, когда поднятия и гомотопны.

Таким образом, задача относительного поднятия будет решена, если последовательно возникающие препятствия с ⁿ⁺¹ равны нулю (напр., если Н ^п+1( Х, А;p_n(F))=0. Поднятие будет единственно, если последовательно возникающие различающие dⁿ равны нулю (напр., если Н ⁿ( Х, A;p_n(F))=0). В случае, когда корасслоение iявляется вложением клеточных разбиении, препятствие с ^п+1 и различающая dⁿ совпадают с обычными "поклеточными" препятствием и различающей. Для односвязных пространств X, группы гомологии к-рых конечно порождены, П. с. эффективно вычислима [5] и, следовательно, эффективно вычислим гомотопич. тип пространства X. Однако на практике для большинства пространств из-за резко возрастающей сложности вычислений удается вычислить только начальные отрезки П. с. Для вычислений используется метод когомологических операций.

Двойственной к П. с. является система Картана - Серра

пространства X, состоящая из расслоений, слоями к-рых являются пространства Эйленберга - Маклейна К(p_n (X), п -1). Пространство наз. (п+1)-м убивающим пространством для X. Члены системы Картана - Серра являются гомотопич. слоями ( п -1)-аквивалентностей для П. с. пространства X, а члены Х _п П. с.- пространствами петель над слоями расслоений

Расщепленной П. с. наз. последовательность главных расслоений

слоями к-рых являются пространства Эйленберга - Маклейна К(p_n, s_n}, где . Расщепленные П. с. являются основным технич. средством изучения т. н. нильпотентных пространств и, в частности, их локализаций (см. [2], [6], [7]). Имеются и другие варианты П. с. (см. [6]).

Лит.:[1] Постников М. М., Исследования по гомотопической теории непрерывных отображений, ч. 1-2, М., 1955; [2] его же, "Успехи матем. наук", 1977, т. 32, в. 8, с. 117-81; [3] Мошер Р., Тангора М., Когомологические операции и их приложения в теории гомотопий, пер. с англ., М., 1970, гл. 13; [4] Спеньер Э., Алгебраическая топология, пер. с англ., М., 1971, гл. 8; [5] Браун Э. X., "Математика", 1958, т. 2, № 2, с. 3-24; [6] Ваuеs H. J., Obstruction theory of the homotopy classification of maps, B.-Hdlb.-N.Y., 1977; [7] Hilton P., Mislin G.,Roitberg J., Localization of nilpotent groups and spaces, Amst., 1976.

С. Н. Малыгин.