"
0
C
F
G
H
K
L
N
P
S
T
W
Z
А
Б
В
Г
Д
Е
Ж
З
И
Й
К
Л
М
Н
О
П
Р
С
Т
У
Ф
Х
Ц
Ч
Ш
Э
Ю
Я
БЕРНУЛЛИ ТЕОРЕМАЗначение БЕРНУЛЛИ ТЕОРЕМА в математической энциклопедии: исторически первая форма больших чисел закона. Б. т. приведена в четвертой части книги Я. Бернулли (J. Bernoulli) "Ars conjeсtandi" ("Искусство предположений"). Эту часть можно считать первым серьезным трудом по теории вероятностей. Книга издана в 1713 Н. Бернулли (племянником Я. Бернулли). Б. т. относится к последовательности независимых испытаний (см. Бернулли испытания), в каждом из к-рых вероятность появления нек-рого события (успеха) равна р. Пусть п - число испытаний и т - случайная величина, равная числу успехов. Б. т. утверждает, что каковы бы ни были положительные числа при всех достаточно больших вероятность Рнеравенства будет больше . Доказательство этой теоремы, данное Я. Бернулли (и основанное только на изучении характера убывания вероятностей в биномиальном распределении по мере удаления от наивероятнейшего значения), сопровождалось неравенством, позволяющим указать нек-рую границу для указанного по данным . Напр., Я. Бернулли находит, что при вероятность неравенства
будет больше при Несколько совершенствуя первоначальное рассуждение Я. Бернулли, можно установить, что пдостаточно выбирать с условием что дает, в свою очередь, для вероятности неравенства
оценку вида Для приведенного выше примера получается условие (более сложные оценки показывают, что достаточно брать для сравнения заметим, что теорема Муавра - Лапласа в качестве приближенного значения п 0 дает 6 498). Другие оценки для можно получить, используя Бернштейна неравенство п его аналоги (см. также Биномиальное распределение). Лит.:[ 1] Бернулли Я., Часть четвертая сочинения Якова Бернулли "Ars conjectandi", СПБ, 1913; [2] Марков А. А., Исчисление вероятностей, 4 изд., М., 1924; [3] Бернштейн С. Н., Теория вероятностей, 4 изд., М.-Л., 1946. Ю. В. Прохоров. |
|
|