" 0 C F G H K L N P S T W Z А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Э Ю Я

ПОЛИЛИНЕЙНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ

Значение ПОЛИЛИНЕЙНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ в математической энциклопедии:

n-линейное отображение, полилинейный оператор,- отображение f прямого произведения унитарных модулей E_i над ассоциативно-коммутативным кольцом Ас единицей в нек-рый A-модуль F, линейное по каждому аргументу, т. е. удовлетворяющее условию

В случае п=2( п = 3).говорят о билинейном отображении (соответственно трилинейном). Каждое П. о.

определяет единственное линейное отображение тензорного произведения в Fтакое, что

причем соответствие есть биекция множества П. о. на множество всех линейных отображений П. о. естественным образом

образуют A-модуль.

В А-модуле L_n(E, F).всех n-линейных отображений действует симметрич. группа S_n:

где . П. о. f наз. симметрическим, если sf=f для всех , и кососимметрическим, если sf=e(s)f, где e(s)=+1 в зависимости от четности подстановки в. П. о. наз. знакопеременным (или альтернированным), если f(x₁, . . ., х _п)=0, как только x_i=x_j для нек-рых . Всякое знакопеременное П. о. кососимметрично, а если в Fравнение 2у=0 имеет единственное решение у=0, то верно и обратное. Симметрические П. о. образуют подмодуль в L_n(E, F), естественно изоморфный модулю линейных отображений L(SⁿE, F), где SⁿE есть n-я симметрич. степень Е(см. Симметрическая алгебра), знакопеременные П. о.- подмодуль, естественно изоморфный L(LⁿE, F), где Lⁿ Е есть га-я внешняя степень модуля Е(см. Внешняя алгебра). П. о. вида наз. симметризованными, а П. о. вида s_nf= - кососимметризованными. Симметризованные (кососимметризованные) П. о. симметричны (соответственно знакопеременны), а если в Fуравнение n!y=c имеет для каждого единственное решение, то верно и обратное. Для того чтобы всякое знакопеременное П. о. было кососимметризованным, достаточно также, чтобы модуль Ебыл свободным.

Лит. см. при ст. Полилинейная форма. А. Л. Онищик.