" 0 C F G H K L N P S T W Z А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Э Ю Я

ПЛЮККЕРА ИНТЕРПРЕТАЦИЯ

Значение ПЛЮККЕРА ИНТЕРПРЕТАЦИЯ в математической энциклопедии:

модель, реализующая геометрию трехмерного проективного пространства Р ₃ в гиперболич. пространстве ³S₅. П. и. основана на специальном истолковании плюккеровых координат прямой, определяемых для любой прямой пространства Р ₃.

При проективных преобразованиях пространства Р ₃ плюккеровы координаты преобразуются линейно. С помощью плюккеровых координат прямых пространства Р ₃ устанавливается взаимно однозначное соответствие между прямыми пространствами Р ₃ и точками проективного пространства Р ₅, координаты к-рых численно равны плюккеровым координатам прямых пространства Р ₃.

Прямые пространства Р ₃ изображаются точками невырожденной квадрики пространства P₅, индекс к-рой равен трем.

Если считать эту квадрику за абсолют и определить в пространстве Р ₅ проективную (неевклидову) метрику, то получается пятимерное гиперболич. пространство ³S₅. При каждой коллинеации и корреляции пространства Р ₃ происходит линейное преобразование плюккеровых координат, т. е. каждая коллинеация н корреляция изображаются коллинеацией пространства Р ₅, переводящей в себя абсолют. Эти коллинеации тем самым являются перемещениями пространства ³S₅. Перемещения пространства ³S₅ изображают или коллинеации или корреляции пространства Р ₃.

Каждому линейному комплексу пространства Р ₃ сопоставляется точка пространства ³S₅. Проективную геометрию пространства Р ₃ можно рассматривать как неевклидову геометрию гиперболич. пространства ³S₅. Именно эта интерпретация геометрии пространства Р ₃ в пространстве ³S₆ наз. интерпретацией Плюккера в связи с ролью плюккеровых координат.

Если в качестве основного образа пространства Р ₃ берется прямая, то геометрию этого пространства можно рассматривать как геометрию на абсолюте пространства ³S₅.

Группа проективных преобразований пространства Р ₃ изоморфна группе перемещений пространства ³S₅, и всякому инволюционному проективному преобразованию пространства Р ₃ соответствует инволюционное перемещение пространства ³S₅. Напр., нуль-системе в пространстве Р ₃ соответствует отражение от точки и от ее полярной гиперплоскости в пространстве ³S₅; инволюционной гомологии в пространстве Р ₃ соответствует гиперболический паратактич. сдвиг на полупрямую в пространстве ³S₆ и т. д. Каждой связной компоненте группы проективных преобразований пространства Р ₃ соответствует связная компонента группы перемещений пространства ³S₅.

1) Коллинеациям пространства Р ₃ с положительным определителем, включая тождественное преобразование, отвечают перемещения пространства ³S₅ с определителем, равным +1 (сюда включаются тождественные преобразования).

2) Корреляциям пространства Р ₃ с положительным определителем (включая нуль-систему) отвечают перемещения пространства ³S₅ с определителем, равным - 1, переводящие собственную и идеальную области соответственно в себя (включая отражения от точки).

3) Коллинеациям пространства Р ₃ с отрицательным определителем отвечают перемещения пространства ³S₅ с определителем, равным +1, переводящие собственную область в идеальную и обратно, эта компонента содержит гиперболич. сдвиг на полупрямую.

4) Корреляциям пространства Р ₃ с отрицательным определителем отвечают перемещения пространства ³S₅ с определителем, равным -1, переводящие собственную область в идеальную и обратно.

Образам симметрии, соответствующим в пространствах Р ₃ и ³S₅, сопоставляются числовые инварианты, между к-рыми существуют определенные связи.

П. и. применяется в исследованиях групп перемещений трехмерных неевклидовых пространств S₃, ¹S₃, ²S₃, к-рые изоморфны определенным подгруппам группы перемещений пространства ³S₆. Устанавливается также взаимосвязь групп движений этих трехмерных пространств (эллиптического, гииерболического) с группами перемещений пространств низших размерностей (см. Фубини интерпретация, Котельникова интерпретация). С помощью П. и. изучается интерпретация трехмерного симплектич. пространства Sp₃ в пространстве ³S₅. П. и. предложена Ю. Плюккером [1].

Лит.:[1] Р1uсkеr J., Neue Geometric des Raumes gеgrundet auf die Betrachtung dor geraden Linie als Raumelement, Lpz., 1868-69; [2] Розенфельд Б. А., Неевклидовы пространства, М., 1969; [3] Клейн Ф., Высшая геометрия, пер. с нем., М.- Л., 1939. Л. А. Сидоров.