" 0 C F G H K L N P S T W Z А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Э Ю Я

ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА

Значение ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА в математической энциклопедии:

теории упругости - название типа задач, в к-рых картина изучаемого явления в упругой среде одинакова во всех плоскостях, параллельных нек-рой плоскости (напр., плоскости Ох ₁x₂ декартовой системы координат Ох ₁ х ₂ х ₃, Математич. теорией П. з. часто описываются и задачи, к-рые по содержанию имеют пространственный характер (напр., изгиб тонких пластинок).

По П. з. теории упругости успехи достигнуты главным образом благодаря использованию формул, выражающих искомые решения через аналитич. ции одного комплексного аргумента; впервые эти формулы были выведены в 1909 Г. К. Колосовым (см. [1]), а начиная с 20-х гг. 20 в. в работах Н. И. Мусхелишвили они нашли полное обоснование, и на их базе развиты методы решения широкого круга граничных (краевых) и контактных П. з. теории упругости. Полученные по П. з. теоретич. результаты используются при решении практич. задач. .

Комплексное представление полей смещений и напряжений. Говорят, что упругая среда находится в состоянии плоской деформации, если существует такая декартова система координат Ох ₁ х ₂ х ₃, относительно к-рой компоненты вектора смещения имеют вид

где t - время. Компоненты тензора напряжений таковы

где l, m - постоянные Ламе, d_ab - символы Кронекера, е _ab - компоненты тензора деформации: е _ab=д _au_b+д_bu_a;q=е _aa=д _au_a - дилатация (a,b=1,2; наличие в выражении двух одинаковых индексов означает суммирование).

Плоская деформация возможна в упругой среде, к-рая заполняет цилиндр с образующими, перпендикулярными плоскости Ох ₁ х ₂, если при этом компоненты объемных сил имеют вид Х _а=Х _а( х ₁, х ₂, t), X₃=0, a боковые усилия не зависят от координаты х ₃ и расположены на плоскостях, перпендикулярных оси цилиндра. Для реализации плоской деформации упругого цилиндра к его торцам необходимо приложить нормальные силы, равные +lq.

При сделанных допущениях система уравнений динамики упругого тела Относительно компонентов вектора смещений имеет вид

где r - плотность распределения масс, - силы инерции, D - оператор Лапласа. Если воспользоваться операциями комплексного дифференцирования:

, то при отсутствии сил инерции (статич. задача) эту систему можно записать в виде одного (комплексного) уравнения:

где

Пусть область S, занятая упругой средой, представляет связную часть плоскости Ох ₁ х ₂, ограниченную одним или несколькими контурами L₀, L₁,..., L_m без общих точек, L=L₀+L₁+. . .+L_m- граница области S;точка z=0 принадлежит S.

Искомое решение уравнения равновесия выражается по формуле и=и ₀+ТХ, где ТХ - нек-рое частное решение, к-рое можно выразить в виде

a u₀ - общее решение однородного уравнения (Х=0), к-рое выражается по формуле

где j и y - произвольные аналитич. ции от z=x₁+ix₂ в области S(, где s - постоянная Пуассона, 0<s<0,5). Если X - многочлен от х, y, то ТХ можно выразить в явной форме.

Оператор не изменится, если функции j и y подчинить условию j(0)=0 или y(0)=0. При выполнении одного из этих условий всякому полю смещений u=u₁+iu₂, заданному в области S, соответствует вполне определенная пара аналитич. ций j, y.

Если в предыдущих формулах постоянную заменить через , то получается формула для поля смещения обобщенного плосконапряженного состояния.

Комплексная запись

компонентов тензора напряжений, в силу равенства

принимает вид

где

Пусть упругая среда подвергается непрерывной деформации. Тогда можно считать, что компоненты тензора напряжений и смещений - непрерывные однозначные функции в области S;Ф и Y голоморфны в S, причем Ф можно подчинить условию

Если область Sограничена и односвязна, а деформация непрерывна, то функции j и y голоморфны в S. В случае конечной многосвязной области j и y будут, вообще говоря, многозначными функциями определенного вида.

Основными задачами плоской теории упругости являются следующие задачи.

1) Первая основная задача: определить упругое равновесие тела, когда на его границе заданы внешние силы.

Сила напряжения ( Х _п, Y_n), действующая на элемент дуги ds контура Lс нормалью п, может быть записана в комплексной форме:

и краевые условия первой задачи имеют вид

(1)

где

причем дуга s отсчитывается на каждом от нек-рой фиксированной точки в положительном направлении; на Всегда можно считать c₀=0, остальные постоянные определяются в ходе решения задачи. Если m=0, то искомые функции j и y голоморфны в S. Тогда равенства j(0)=0, Imj' (0)=0 обеспечивают единственность решения задачи (1), а необходимые и достаточные условия существования решения

представляют собой условия статич. равновесия абсолютно жесткого тела.

При m>0, как уже было отмечено, j и y - многозначные функции специального вида, причем они выражаются через новые искомые голоморфные в области Sфункции j* и y*.

2) Вторая основная задача: определить упругое равновесие тела по заданным смещениям точек его границы.

Эта задача приводит к граничному условию вида

где f=u₁+iu₂ - заданная на Lфункция.

3) Основная смешанная задача. Пусть S - конечная односвязная область, ограниченная замкнутым контуром L; L=L'+L", где L' состоит из конечного числа дуг контура L, к-рые попарно не имеют общих точек; на L' заданы внешние напряжения, а на L " - смещения. Соответствующие краевые условия можно записать в виде

где f - заданная функция точки , если , и , если , если ; c(t)=0, если . Постоянные (кроме одной, выбираемой как угодно) не задаются заранее и подлежат определению в ходе решения задачи.

4) Третья основная задача. На границе области задаются нормальная составляющая вектора смещения и касательная составляющая вектора внешнего напряжения.

Такая задача возникает, напр., в случае соприкасания упругого тела с жестким профилем заданной формы, когда контакт между упругим и жестким телами осуществляется по всей границе. Рассматриваются также другого рода контактные задачи. Все эти задачи также приводятся к граничным задачам для аналитич. ций.

5) Граничные задачи изгиба тонких пластинок. К аналогичным граничным условиям приводят задачи изгиба тонких пластинок. Прогиб wсерединной поверхности тонкой однородной упругой пластинки, подверженной действию распределенной по ее поверхности нормальной нагрузки интенсивности q, удовлетворяет неоднородному бигармонич. уравнению DDw = q/D, где D=Eh³/12(1-s²) - цилиндрич. жесткость; h - толщина пластинки, Е - модуль Юнга. Общее решение этого уравнения имеет вид

где - частное решение, к-рое выражается формулой

а w₀ - общее решение

однородного бигармонич. уравнения DDw₀ = 0, где Ф и Y - произвольные аналитич. ции в S.

Если q - многочлен от х ₁ и х ₂, то выражается в явной форме. Если Ф(0) = 0, Y(0) = 0, то функции Ф и Y выражаются однозначно посредством заданной бигармонич. функции w₀.

Решение wуравнения DDw=q/D следует подчинить граничным условиям, соответствующим тому пли иному характеру закрепления границы пластинки. В случае заделанной по краям пластинки на границе Lобласти S, занятой серединной поверхностью пластинки, должны выполняться условия w=dw/dn=0, где п - внешняя нормаль к контуру L. Эти два условия можно записать в виде одного комплексного равенства д _гw=0 (на L). Последнее приводится к виду (1).

Решение этой задачи всегда существует, единственно и выражается по формуле

где G - функция Грина. Для круга |z|<l:

В случае свободной пластинки граничные условия имеют вид

(2)

где v - угол, составляемый внешней нормалью пс осью Оx₁. Левые части равенств (2) представляют собой соответственно изгибающий момент и обобщенную перерезывающую силу, отнесенные к единице длины и действующие на боковой элемент пластинки с нормалью п. Граничные условия (2) можно записать в виде

где g - заданная функция на L.

6) Плоские стационарные упругие колебания. Когда решения системы уравнений динамики упругой среды ищутся в виде

где v - частота колебания, для vполучается формула

(предполагается, что внешние силы равны нулю, X_a=0), где w₁ и w₂ - произвольные решения уравнений:

Поле напряжений выражается по формулам

Общее решение уравнения

выражается в виде

(3)

где А ₀ - произвольная действительная постоянная, Ф - произвольная аналитич. ция, J₀ - функция Бесселя 1-го рода нулевого порядка. При помощи формулы (3) выводятся комплексные представления для полей смещений и напряжений, при плоском стационарном колебании упругой среды; они могут быть использованы для исследования граничных задач, а также для построения различных полных систем частных решений, к-рые позволяют аппроксимировать любые поля смещений и напряжений. В частности, эти полные системы можно использовать для построения приближенных решений краевых задач.

7) Задача определения концентраций напряжений около отверстий в анизотропных и изотропных пластинах. Основу приближенных методов решения таких задач также составляют введение функций комплексного переменного специальной структуры в виде степенных рядов и различных модификаций теории возмущений, а также использование теорем сложения цилиндрич. и сферич. функций с последующим сведением граничных задач к бесконечным системам алге-браич. уравнений.

Методы решения граничных задач. Формулы представления полей смещений и напряжений через аналитич. ции используются для доказательства существования и единственности решения общих граничных задач, а также для построения в явной форме решений нек-рых классов задач частного вида.

Метод степенных рядов с применением конформного отображения позволяет решать основные плоские задачи для областей, конформно отображающихся на круг посредством рациональных функций. Задача редуцируется к линейной алгебраич. системе уравнений и квадратурам. Этим методом практически решаются основные граничные задачи для любой односвязной области с использованием приближенного конформного отображения области на круг с помощью рациональных функций. При использовании ЭВМ этот прием является эффективным для построения решений основных граничных П. з. теории упругости и изгиба пластинок.

На основе теории интеграла типа Коши исследование П. з. редуцируется к хорошо изученным интегральным уравнениям.

Полезными являются также методы, сочетающие конформное отображение с применением аппарата интегралов типа Коши.

Существуют и другие способы приведения граничных П. з. теории упругости к интегральным уравнениям, к-рые дают возможность изучить вопросы существования и единственности решения.

Для редукции граничных П. з. теории упругости к интегральным уравнениям используется также метод потенциалов, не вводящий в рассмотрение комплексные аналитич. ции (j и y).

Лит.:[1] Колосов Г. В., Об одном приложении теории функций комплексного переменного к плоской задаче математической теории упругости, Юрьев, 1909; [2] его же, Применение комплексных диаграмм и теории функций комплексной Переменной к теории упругости, Л.- М., 1935; [3] Мусхелишвили Н. И., Некоторые основною задачи математической теории упругости, 5 изд., М., 1966; [4] его же, Сингулярные интегральные уравнения, 3 изд., М., 1968; [5] Векуа И. Н., Мусхелишвили Н. И., Методы теории аналитических функций в теории упругости, в кн.: Тр. Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике (1960), М.- Л., 1962; [6] Векуа И. Н., Новые методы решения эллиптических уравнений, М.- Л., 1948; [7] Савин Г. Н., Концентрация напряжений около отверстий, М.- Л., 1951; [8] Галин Л. А., Контактные задачи теории упругости, М., 1953; [9] Штаерман И. Я., Контактная задача теории упругости, М.- Л., 1949; [10] Каландия А. И., Математические методы двумерной упругости, М., 1973; [11] SоkоlnikоffI. S., Mathematical theory of elasticity, N. Y.- L., 1946; [12] Трехмерные задачи математической теории упругости, Тб., 1968.

И. Н. Векуа, Р. А. Кордзадзе.