ПЕРЕНОРМИРОВКА

Значение ПЕРЕНОРМИРОВКА в математической энциклопедии:

- процедура устранения расходимостей, присущих теории возмущений в лагранжевой формулировке квантовой теории поля. При построении формальных рядов теории возмущений в квантовой теории поля появляются выражения, не имеющие однозначного математич. смысла, связанные с т. н. ультрафиолетовыми расходимостями. Такие расходимости возникают из-за того, что коэффициенты этих рядов являются произведениями обобщенных функций, т. е. объектом, вообще говоря, не определенным корректно.

Удобно начинать рассмотрение с регуляризованной теории, в к-рой обобщенные функции заменены достаточно гладкими. Регуляризация вводит в теорию дополнительные параметры, не имеющие прямого физич. содержания. Но в регуляризованной теории уже возможно выделить из каждой коэффициентной функции ту ее часть, к-рая при снятии регуляризации порождает ультрафиолетовые расходимости. Собственно П. состоит в отбрасывании расходящихся вкладов в коэффициентные функции. После П. регуляризация снимается, т. е. регуляризующий параметр исключается соответствующим предельным переходом.

Идея П., предложенная X. Бете (см. [1]), состоит в том, что отбрасывание расходимостей должно производиться таким способом, чтобы оно сводилось к переопределению (П.) параметров исходного лагранжиана, т. е. затравочных масс, констант связи и нормировки полей. Точная формулировка перенормировочной процедуры в квантовой теории поля (R-операция) была дана Н. Н. Боголюбовым и О. С. Парасюком (см. [2]). Ими была доказана теорема (теорема Боголюбова - Парасюка) о коне. <чности в смысле обобщенных функций из S' перенормированных выражений в каждом порядке теории возмущений. При этом П. сводится к добавлению к лагранжиану дополнительных членов - "контрчленов". Каждый контрчлен представляет собой нек-рую локальную операторную структуру с числовым коэффициентом, являющимся, вообще говоря, бесконечным рядом по затравочным константам связи. Эти коэффициенты конечны лишь при наличии регуляризации и обращаются в бесконечность при снятии ее. Таким образом, П. демонстрирует вспомогательный характер исходного лагранжиана. Физич. смысл придается лишь лагранжиану перенормированному. Его параметры, т. е. перенормированные массы, константы связи и т. д., к-рые конечны, можно идентифицировать с наблюдаемыми величинами.

Лагранжева формулировка теории возмущений возможна лишь для теорий, в к-рых число контрчленов, отличающихся по своей операторной структуре, конечно. Такие теории делятся на два класса - супернормируемые и перенормируемые. В супернормируемых теориях коэффициенты при контрчленах являются конечными рядами по константам связи, а в перенормируемых - эти ряды бесконечны. В этих теориях операторная структура контрчленов, как правило, та же, что и отдельных членов исходного лагранжиана. Их объединение и приводит к П. затравочных констант.

В классич. варианте П. есть R-операция Боголюбова - Парасюка (устранение расходимостей из каждой диаграммы, возникающей, напр., в разложении S-матрицы) и сводится к переопределению коэффициентной функции этой диаграммы следующим образом. Пусть Mg - оператор, сопоставляющий коэффициентной функции диаграммы gначальный отрезок ее разложения в ряд Маклорена по импульсам. Тогда коэффициентная функция перенормированной диаграммы Г запишется как

где - совокупность всех расходящихся поддиаграмм диаграммы Г, а символ означает, во-первых, отбрасывание в получающемся из при раскрытии скобок выражении всех членов, содержащих произведения , отвечающие паре поддиаграмм, для к-рых не выполняется ни одно из условий , , и, во-вторых, упорядочивание операторов таким образом, что стоит правее , если .

Ограничения, накладываемые на процедуру П., не фиксируют ее полностью. Остающийся произвол имеет двоякий характер. Во-первых, требование конечности перенормированных выражений определяет лишь не-к-рое минимальное число "вычитаний" в каждой расходящейся поддиаграмме, т. е. минимальное число выделяемых членов ряда Маклорена. П. будет по-прежнему приводить к конечным результатам, если число вычитаний увеличивать, соблюдая нек-рые условия согласования для вычитаний в различных поддиаграммах перенормируемой диаграммы. Во-вторых, вместо отрезка ряда Маклорена можно вычитать выражение, отличающееся от него многочленом по импульсам той же степени с конечными коэффициентами.

Указанный произвол приводит к эквивалентности различных процедур П., отличающихся по своей формулировке от R-операции. Их конкретный выбор обычно диктуется рассматриваемой задачей. Так, для теорий с калибровочной инвариантностью, была предложена П., получившая название размерной. Она базируется на регуляризации, использующей в качестве параметра отклонение размерности пространства-времени, в к-ром производятся вычисления, от физич. значения. Устранение расходимостей производится путем отбрасывания выражений, сингулярных по этому отклонению.

В других задачах пользуются аналитич. П. В ее основе лежит регуляризация, состоящая в замене пропагатора частицы, имеющего вид типа на . Продолжение в комплексную область по параметрам l. осуществляет регуляризацию теории, а ультрафиолетовые расходимости выделяются как полюса по нек-рым линейным комбинациям этих параметров. Согласованное отбрасывание таких полюсов устраняет все расходимости.

В приложениях используются и другие схемы П. (см. [3]).

Лит.:[1] Веthе Н. A., "Phys. Rev.", 1947, v. 72, p. 339- 341; [2] Боголюбов Н. Н., Парасюк О. С., "Докл. АН СССР", 1955, в. 100, № 1, с. 25; № 3, с. 429; [3] Завьялов О. И., Перенормированные диаграммы Фейнмана, М., 1979. С. А. Аникин.