ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА

Значение ПЕРВАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА в математической энциклопедии:

краевая задача специального вида; заключается в отыскании в области Dпеременных x=(x₁,..., х _п).решения дифференциального уравнения

(1)

четного порядка 2т по заданным значениям всех производных порядка не выше тна границе Sобласти D(или ее части). Эти условия обычно задаются в виде

(2)

где - производная по направлению внешней

нормали к . Функции наз. данными Дирихле, а сама задача (1), (2), если

,- Дирихле задачей. Для обыкновенного дифференциального уравнения

(3)

в области D=(x₀<x<x₁) П. к. з. определяется краевым условием

Для линейного равномерно эллиптич. уравнения

(4)

П. к. з. (задача Дирихле) состоит в нахождении решений этого уравнения при условии

Если функции и (n-1)-мерное многообразие дD достаточно гладки, то эта задача фредгольмова. В частности, когда мера Dдостаточно мала или когда в D, П. к. з. однозначно разрешима. Условия гладкости могут быть значительно ослаблены как в отношении коэффициентов уравнения и данных Дирихле, так и в отношении границы дD.

Если (1) является системой N>1 уравнений относительно неизвестного N-компонентного вектора и, то П. к. з. ставится аналогичным образом. В этом случае между задачами Дирихле для систем (3) и (4) имеется существенное различие: если задача (3), (2) (S=дD).всегда фредгольмова, то фредгольмовость задачи (4), (2) может нарушаться. Напр., однородная задача Дирихле для равномерно эллиптич. системы Бицадзе (см. [1])

в круге имеет бесконечное число линейно независимых решений. Этот пример послужил отправным пунктом различных дополнительных условий на L(правильная эллиптичность, сильная эллиптичность), обеспечивающих фредгольмовость задачи Дирихле. Для линейных параболич. уравнений П. к. з. ставится в цилиндре и носителем данных Дирихле служит его основание и боковая поверхность. Напр., для уравнения теплопроводности

решение ищется в области

и носителем данных Дирихле служит

Если граница - гладкое (n-1)-мерное многообразие, функция ср гладкая и выполнено условие согласования на , то П. к. з. однозначно разрешима .

Лит.:[1] Бицадяе А. В., Некоторые классы уравнений в частных производных, М., 1981; [2] Вере Л., Джон Ф., Шехтер М., Уравнения с частными производными, пер. с англ., М., 1966; [3] Курант Р., Уравнения с частными производными, пер. с англ., М., 1964; [4] Миранда К., Уравнения с частными производными эллиптического типа, пер. с итал., М., 1957; [5] Петровский И. Г., Лекции об уравнениях с частными производными, 3 изд., М., 1961; [6] Бицадзе А. В., Уравнения математической физики, М., 1976; [7] Xермандер Л., Линейные дифференциальные операторы с частными производными, пер. с англ., М., 1965.

А. П. Солдатов.