ОТДЕЛИМОСТИ АКСИОМА

Значение ОТДЕЛИМОСТИ АКСИОМА в математической энциклопедии:

- условие, налагаемое на топологич. пространство и выражающее требование, чтобы те или иные дизъюнктные, т. е. не имеющие общих точек, множества были в нек-ром определенном смысле топологически отделены друг от друга. Простейшие, т. е. самые слабые из этих аксиом, касаются лишь одноточечных множеств, т. е. точек пространства. Это т. п. аксиомы Т ₀ (аксиома Колмогорова) п T₁. Дальнейшие суть Т ₂ (аксиома Xаусдорфа), Т ₃ (аксиома регулярности) и T₄ (аксиома нормальности), требующие, соответственно, чтобы всякие две различные точки (аксиома Т ₂), всякая точка и всякое не содержащее ее замкнутое множество(аксиома Т ₃), всякие два дизъюнктные замкнутые множества (аксиома T₄).были отделимы окрестностями, т. е. содержались в дизъюнктных открытых множествах данного пространства.

Топологич. Пространство, удовлетворяющее аксиоме наз. Т _i- пространством, Т ₂ -пространство наз. хаусдорфовым, а T₃ -пространство - регулярным; хаусдорфово T₄ -пространство всегда регулярно и наз. нормальным.

Особое место занимает т. н. функциональная отделимость. Два множества Аи Вв данном топологич. пространстве Xназ. функционально отделимыми в X, если существует такая определенная во всем пространстве действительная ограниченная непрерывная функция f, к-рая принимает во всех точках множества Аодно значение а, а во всех точках множества В - нек-рое отличное от азначение b. При этом всегда можно предположить, что во всех точках

Два функционально отделимых множества всегда отделимы и окрестностями, обратное утверждение верно не всегда. Однако имеет место лемма Урысона: в нормальном пространстве всякие два дизъюнктные замкнутые множества функционально отделимы. Пространство, в к-ром всякая точка функционально отделима от всякого не содержащего ее замкнутого множества, наз. вполне регулярным. Вполне регулярное T₂ -пространство наз. тихоновским.

Лит.:[1] Александров П. С., Введение в теорию множеств и общую топологию, М., 1977. В. И. Зайцев.