ОРТОГОНАЛИЗАЦИИ МЕТОД

Значение ОРТОГОНАЛИЗАЦИИ МЕТОД в математической энциклопедии:

метод решения системы линейных алгебраич. уравнений Ах=b с невырожденной матрицей А, основанный на процессе Грама-Шмидта ортогонализации системы векторов.

Если

то исходная система уравнений может быть записана в виде

(a_i,y)=0, i = l, 2, ..., n.

Это значит, что решение системы равносильно нахождению вектора у, имеющего единичную последнюю компоненту и ортогонального ко всем векторам a_i, i=l,2,..., п. Для этого к системе векторов a₁,а ₂,..., а _n, а _n+1, где а _n+1=(0,0,...,1), линейно независимой в силу невырожденности матрицы А, применяется процесс ортогонализации, состоящий в построении ортонормированной относительно скалярного произведения ( х, у).системы векторов q₁,q₂,...,q_n+1 по рекуррентным соотношениям

Коэффициенты c_i здесь находятся из условия ортогональности v_k, векторам q₁,q₂,...,q_k-1 Векторы a₁,а ₂,...,а _п линейно выражаются через q₁,q₂,...,q_n, поэтому вектор q_n+1⁼(z₁,z₂,...z_n+1).ортогонален ко всем векторам a_l,a₂,...,а _n. При этом невырожденность матрицы Аобеспечивает выполнение . Таким образом,

- искомое решение системы.

Описанная схема О. м. хорошо вписывается в общую схему прямых методов решения системы: соотношения равносильны преобразованию матрицы системы в матрицу L_n,L_n-1,...L₁ А, где

и тем самым осуществляют факторизацию матрицы системы в виде A = LQ, где L - треугольная, Q- унитарная матрицы.

Процесс факторизации матрицы Апо О. м. устойчив к ошибкам округления. Если в при выполнении операции скалярного произведения векторов использовать процедуру накопления с удвоенной точностью, то для факторизации матрицы по О. м. имеет место одна из лучших оценок точности в классе прямых методов. При этом, однако, свойство ортогональности векторов q₁,q₂,...,q_n, то есть унитарности матрицы Q, неустойчиво по отношению к ошибкам округления. Поэтому решение системы, полученное из рекуррентных соотношений , может иметь большую погрешность. Для устранения этого недостатка используются различные методы переортогонализации (см. [1], [2]).

О. м. уступает многим прямым методам по быстродействию.

Лит.:[l] Воеводин В. В., Вычислительные основы линейной алгебры, М., 1977; [2] Бахвалов Н. С., Численные методы, 2 изд., М., 1975. Г. Д. Ким,