" 0 C F G H K L N P S T W Z А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Э Ю Я

ОПТИМАЛЬНЫЙ РЕЖИМ ОСОБЫЙ

Значение ОПТИМАЛЬНЫЙ РЕЖИМ ОСОБЫЙ в математической энциклопедии:

особое оптимальное управление, - оптимальное управление, для к-рого на нек-ром участке времени одновременно выполняются условия

где Н - Гамильтона функция. В векторном случае, когда О. р. о. имеет место по k, k>l, компонентам управления, условие (1) заменяется на kусловий

а вместо равенства (2) требуется обращение в нуль определителя

На О. р. о. функция Гамильтона Нстационарна, но ее второй дифференциал не является отрицательно определенным, т. е. максимум Н по и (при и, изменяющемся внутри допустимой области) оказывается "размытым".

Наиболее типичными задачами, в к-рых может иметь место О, р. о., являются задачи оптимального управления, в к-рых подинтегральная функция и правые части линейно зависят от управления.

Ниже рассматриваются задачи такого рода сначала со скалярным особым управлением.

Пусть требуется определить минимум функционала

при условиях связи

граничных условиях

и ограничениях на управление

Необходимые условия, к-рым должен удовлетворять О. р. о., позволяют заранее исследовать задачу (5)-(8) и выделить многообразия особых участков, на к-рых оптимальное управление лежит внутри допустимой области: |u|<1. Пристраивая к ним неособые участки, удовлетворяющие граничным условиям (7), с управлением |u|=1, определяемым из Понтрягина принципа максимума, можно получить оптимальное решение задачи (5)-(8).

Согласно принципу максимума оптимальное управление при любом должно доставлять максимум функции Гамильтона

где

a y=(y₁,...,y_n) - нек-рая не обращающаяся в нуль сопряженная вектор-функция, удовлетворяющая системе уравнений

Условие (2) выполняется для любого управления, а не только для О. р. о.

На тех участках времени, на к-рых , условие (9)

определяет неособое оптимальное управление, принимающее граничные значения

Таким образом, участки [t₀, t₁] с оптимальным особым управлением

|u(t)|<1

могут появиться лишь при выполнении условия (1):

при к-ром функция Гамильтона перестает явно зависеть от управления и. Следовательно, для задач, линейных по управлению, условие (9) не позволяет непосредственно определить оптимальное особое управление u(t).

Пусть функция дифференцируется по tв силу систем (6), (10) до тех пор, пока управление ине войдет с ненулевым коэффициентом в очередную производную. Доказывается (см. [1] - [3]), что управление иможет войти с ненулевым коэффициентом лишь в четную производную, т. е.

(12)

и что необходимым условием оптимальности особого управления является выполнение неравенства

Если , на всем отрезке, то оптимальное особое управление

Поскольку условия (12) получены в результате последовательного дифференцирования (11), то на участке особого режима, в частности в точках сопряжения t₀ и t₁ особого и неособого участков, помимо равенства (11), выполняется 2q-1 равенств

Анализ условий (11), (14) показывает, что для случаев четного и нечетного qхарактер сопряжения особого и неособого участков траектории различен (см. [4]).

При четном qоптимальное управление на неособом участке не может быть кусочно непрерывным. Разрывы управления (точки переключения) сгущаются к точке сопряжения с особым участком, так что оптимальное управление оказывается измеримой по Лебегу функцией со счетным множеством точек разрыва.

При нечетном qтолько две кусочно гладкие оптимальные траектории могут входить в точку, лежащую на особом участке (или исходить из нее). Пусть размерность многообразия особых участков в n-мерном пространстве фазовых координат равна k. Тогда в рассматриваемом случае нечетного qоптимальные траектории с кусочно непрерывным управлением заполняют в фазовом пространстве лишь нек-рую поверхность размерности k+1. Поэтому при почти все оптимальные траектории будут иметь управление с бесконечным числом точек переключения.

Сформулировано предположение (см. [4]), что k=n-q. Если это так, то при сгущение точек переключения перед выходом на особый участок (или сходом с него) является типичным явлением для задач типа (5)-(8).

Пример сопряжения неособого и особого участков оптимального управления с бесконечным числом переключений приведен в [5].

При четном q, , оптимальное особое управление на неособом участке, примыкающем к особому, не может быть кусочно непрерывным, а имеет бесконечное число точек переключения, сгущающихся к точке входа t₀, т. е. не существует e>0 такого, что в промежутке [t₀-e,t₀] оптимальное управление постоянно.

В наиболее часто встречающемся О. р. о. величина q=1. Для этого случая сопряжение неособого и особого участков осуществляется с помощью кусочно непрерывного оптимального управления.

В более общем случае О. р. о., в к-ром рассматривается k, k>1, управлений:

(как и в скалярном случае) условие (4), в силу линейности, выполняется для любого управления. На участке [t₀, t₁] О. р. о. пo kкомпонентам с |u_s|<l должны выполняться kусловий (3):

где

a y_i определяются из (10).

Дальнейшие необходимые условия оптимальности для О. р. о. по нескольким компонентам отличаются от рассмотренного выше случая О. р. о. по одной компоненте следующими особенностями. На участке О. р. о. должны выполняться необходимые условия двух видов. Одно из них, типа неравенства, является аналогом условия (13). Другие необходимые условия являются условиями типа равенства и не имеют более ранних аналогий (см. [6]).

Дифференцируя (17) полным образом по t, получают систему kлинейных уравнений относительно kнеизвестных u₁, ... , u_k.

Матрица коэффициентов системы (18)

является кососимметричной: a_sp=-a_ps. Отсюда, в чавт-ности, следует, что элементы a_ss, стоящие на главной диагонали матрицы (a_sp); равны нулю. Остальные элементы в системе (18) в общем случае на произвольной траектории, соответствующей нек-рому неоптимальному управлению, отличны от нуля. На О. р. о. no kкомпонентам должны выполняться необходимые условия, требующие обращения в нуль всех коэффициентов системы (18) (см. [6]):

Кроме этих условий должно выполняться условие типа неравенства (являющееся аналогом условия (13) для О. р. о. по одной компоненте при д = 1):

Условия (13), (20) можно рассматривать как обобщение Лежандра условия и Клебша условия на случай О. р. о., поэтому указанные неравенства наз. иногда обобщенным условием Лежандра - Клебша.

Важность выявления и исследования О. р. о. в задачах оптимального управления объясняется следующим свойством О. р. о. (см. [4]): если оптимальная траектория, исходящая из нек-рой точки, содержит участок О. р. о., то этим же свойством обладают все оптимальные траектории, исходящие из близких точек.

Исследованы нек-рые вопросы, связанные с определением порядка О. р. о. для линейных и нелинейных по управлению задач (см. [8]).

Все приведенные выше результаты по О. р. о. получены из рассмотрения второй вариации функционала. Оказывается, что можно получить дополнительные необходимые условия оптимальности особого режима из рассмотрения третьей и четвертой вариаций функционала (см. [9]).

Лит.:[1] Келли Г., "Ракетная техника и космонавтика", 1964, № 8, с. 26-29; [2] Роббинс Г., там же, 1965, № 6,. с.

139-45; [3] Копп Р., Мойер Г., там же, 1965, № 8, с. 84- 90; [4] Берщанский Я. М., "Автоматика и телемеханика",

1979. № 3, с. 5-11; [5] Фуллер А. Т., в кн.: Тр. 1 Международного конгресса Международной федерации по автоматическому управлению. Теория дискретных оптимальных и самонастраивающихся систем, М., 1961, с. 584-605; [6] Вапнярский И. Б., "Ж. вычисл. матем. и матем. физ.", 1967, т. 7, № 2, с. 259-83; [7] Кrеnеr A., "SIAM J. Contr. and Optimiz.", 1977, v. 15, № 2, p. 256-93; [8] Lеwis R. М., там же, 1980. v. 18, № 1, p. 21-32; [9] Скородинский И. Т., "Ж. вычисл. матем. и матем. физ.", 1979, т. 19, № 5, с. 1134-40; [l0] Габасов Р., Кириллова Ф. М., Особые оптимальные управления, М., 1973. И. Б. Вапнярский.