" 0 C F G H K L N P S T W Z А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Э Ю Я

ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ПРОГРАММНОЕ

Значение ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ПРОГРАММНОЕ в математической энциклопедии:

- решение задачи оптимального управления математической теории, в к-рой управляющее воздействие u=u(t).формируется в виде функции времени (тем самым предполагается, что по ходу процесса никакой информации, кроме заданной в самом начале, в систему не поступает). Таким образом, О. у. п. формируется по априорным сведениям о системе и уже не может быть скорректировано, в отличие от оптимального управления позиционного.

Проблема существования решений задачи О. у. п. разбивается на два вопроса: выяснение осуществимости цели управления при заданных ограничениях (существование допустимого управления, реализующего цель управления) и установление разрешимости экстремальной задачи - достижимость экстремума (как правило, относительного) - в упомянутом выше классе допустимых управлений (существование оптимального управления).

В связи с первым вопросом весьма важно изучение свойства управляемости системы. Для системы

оно означает существование в заданном классе U= функций, допускаемых к рассмотрению, управлений u(t), переводящих фазовую точку (см. Понтрягина принцип максимума).из любого заданного начального положения в любое заданное конечное положение (за фиксированное или свободное время T=t₁-t₀, в зависимости от постановки задачи). Необходимые и достаточные условия управляемости (или, как еще принято говорить, полной управляемости) известны в конструктивной форме для линейных систем

(1)

с аналитическими или периодич. коэффициентами (они наиболее просты при , ). Для линейных систем общего вида полностью решается и вопрос о разрешимости задачи попадания с, одного выпуклого множества на другое (при выпуклых ограничениях на и, х). В нелинейном случае известны лишь локальные условия управляемости (справедливые в малой окрестности заданного движения) или условия для частных классов систем (см. [2], [4], [5]). Свойство управляемости изучают и в рамках многочисленных обобщений, связанных, в частности, с рассмотрением специальных классов U(напр., множества Uвсех ограниченных кусочно непрерывных управлений u(t)), задач управляемости по части координат или изучением более общих классов систем, в том числе бесконечномерных.

Вопрос о существовании оптимального управления в общем случае связан со свойством компактности в той или иной топологии минимизирующих последовательностей управлений или траекторий и свойством полунепрерывности по соответствующим переменным минимизируемых функционалов. Первое из этих свойств тесно связано для системы

(2) при ограничениях

(3) с выпуклостью множества

а второе (для интегральных функционалов) - с выпуклостью по соответствующим переменным J(,). Отсутствие этих свойств возмещают путем расширения исходных вариационных задач. Так, невыпуклость J(t, х, и).можно возместить путем введения скользящих режимов -обобщенных решений обыкновенных дифференциальных уравнений, порожденных управлениями-мерами, заданными на Uи создающими эффект "овыпукления" (см. [6], [7]).

Отсутствие выпуклости у интегральных функционалов возмещают путем погружения задачи в более общую, с новым функционалом, являющимся выпуклой минорантой прежнего, и решения новой задачи в более широком классе управлений (см. [8]). В отмеченных случаях существование оптимального управления часто вытекает из существования допустимого управления.

Теория необходимых условий экстремума наиболее развита в задачах О. у. п. Основополагающим результатом здесь послужил принцип максимума Понтрягина, содержащий необходимые условия сильного экстремума в задаче оптимального управления.

Следует отметить создание общих приемов получения необходимых условий в экстремальных задачах, эффективно использованных для задач О. у. п. с более сложными ограничениями (фазовыми, функциональными, минимаксными, смешанными и т. д.) и основанных, так или иначе, на теоремах об отделимости выпуклых конусов (см. [9], [10]). Пусть, напр., Е - векторное пространство, f(x), ,- заданный функционал,

- множества из Е,

-точка, в к-рой f(x).достигает минимума на ,

Суть распространенного общего метода состоит в том, что каждое из множеств , i=0,1,...,n, аппроксимируется в окрестности точки х ⁰ нек-рым выпуклым конусом Кi с вершиной в точке х ⁰ (конус "убывания" для ; конус "допустимых направлений" для ограничении, изображаемых неравенствами; конус "касательных направлений" для ограничений типа равенства, в том числе для дифференциальных связей, и т. д.). Необходимое условие минимума теперь состоит в том, чтобы х ⁰ была единственной точкой, общей для всех K_i, i=0,1,..., п, и, следовательно, чтобы конусы были "отделимы" (см. [8]). Последнему "геометрическому" условию далее придают аналитич. орму и но возможности преобразуют к удобному виду, напр. при помощи функции Гамильтона. В зависимости от исходных ограничений, а также от класса используемых вариаций, необходимые условия могут принимать как форму, аналогичную принципу Понтрягина, так и форму локального (линеаризованного) принципа максимума (условия слабого экстремума по и). Реализация отмеченного пути, таким образом, зависит от возможности аналитически описывать конусы K_i. Эффективное их описание достигается для множеств , задаваемых гладкими функциями, удовлетворяющими нек-рым дополнительным условиям регулярности в рассматриваемой точке, или выпуклыми функциями (см. [9], [10]). В принципе отмеченный путь допускает обобщения и на случай негладких ограничений, в том числе дифференциальных. Здесь, напр., может быть использовано понятие субдифференциала выпуклой функции или его обобщения, когда выпуклость отсутствует (см. [11], [12]).

Условия 1-го порядка, аналогичные принципу Понтрягина, известны для решений в классе обобщенных функций-мер (т. н. интегральный принцип максимума), для управляемых систем, описываемых дифференциальными уравнениями с отклоняющимся аргументом, дифференциальными уравнениями с частными производными, эволюционными уравнениями в банаховом пространстве, дифференциальными уравнениями на многообразиях, рекуррентными разностными уравнениями и т. д. (см. [1], [6], [7], [13] - [16]).

Из указанных необходимых условий экстремума в задаче оптимального управления вытекают известные необходимые условия 1-го порядка классического вариационного исчисления. В частности, в двухточечной краевой задаче для системы (2), (3), где U- открытое множество, ) - стандартный интегральный функционал, из принципа Понтрягина вытекает необходимое условие экстремума Вейерштрасса в классическом вариационном исчислении.

В теории оптимального управления развиваются методы получения необходимых условий высших порядков (особенно 2-го порядка) для неклассических вариационных задач (см. [19]). Интерес к условиям высших порядков в значительной степени был связан с изучением вырожденных задач оптимального управления, приводящих к т. н. особым управлениям и не имеющих адекватных аналогов в классич. теории. Напр., в принципе Понтрягииа функция H(t,y, х, и).либо может приводить к целому семейству управлений, каждое из к-рых удовлетворяет принципу максимума, либо вообще не зависит от и(тогда любое из допустимых значений иудовлетворяет принципу Понтрягина). Эта ситуация оказалась весьма характерной для целого ряда прикладных задач управления в пространстве. В данном случае выделение оптимального управления уже требует перебора экстремалей 1-го порядка (т. н. экстремалей Понтрягина) и применения к ним необходимых условий оптимальности 2-го или, в общем случае, более высокого порядка. Здесь разные по форме необходимые условия были получены путем использования специальных классов "неклассических" вариаций (напр., "связок" игольчатых вариаций и т. д.). Реализация особых управлений часто связана снова с использованием скользящих режимов (см. [17], [18]).

Теория достаточных условий оптимальности разработана в меньшей степени. Известны результаты, относящиеся к условиям локальной оптимальности и содержащие, в числе прочих требований, условия невырожденности cистемы в вариациях и ограничения на свойства гессиана правых частей, вычисленного вдоль исследуемой траектории для соответствующего обыкновенного дифференциального уравнения. Другая группа достаточных условий опирается на метод динамич. программирования и его связь с теорией принципа максимума (см. [8]). Имеются и формализмы, приводящие к достаточным условиям абсолютного минимума, основанные на идее расширения вариационных задач. Область их реальной применимости охватывает специальные классы задач с выпуклыми критериями и вырожденных задач оптимального управления (см. [18]).

Полное решение задачи О. у. п. (необходимые и достаточные условия оптимальности) известно для линейных систем (1), когда рассматриваемые функционалы и ограничения на и, х выпуклы (в ряде случаев здесь требуется выполнение нек-рых дополнительных условий). Привлечение идей двойственности, используемых в выпуклом анализе, выявило особое экстремальное свойство траекторий системы, описывающей сопряженные переменные принципа максимума Понтрягина. Это позволило свести краевую задачу, возникающую при использовании необходимых условий общего вида, к решению более простой двойственной экстремальной задачи. В рамках названного подхода получила развитие теория линейных систем с импульсными управлениями, моделирующих объекты, подверженные мгновенным воздействиям (ударным, взрывным, импульсным), и формализуемых при помощи дифференциальных уравнений в обобщенных функциях соответствующих порядков сингулярности. Эффективное применение, особенно в теории игровых систем, нашел метод областей достижимости (см. [2], [3]).

В отсутствии полной априорной информации о системе (и в том числе статистич. описания недостающих величин) рассматривают задачу О. у. п. в условиях неопределенности. Пусть в системе

(4)

параметр , реализующийся в виде функции времени w=w(t), и вектор х ⁰ неизвестны, но заданы лишь множества , . Тогда, предполагая существование и продолжаемость на [t₀, t₁]решений

уравнения (4) (при заданных х ⁰, u(t), w(t),), можно построить пучок (ансамбль) траекторий

Выбирая программное управление u(t).(одно и то же для всех траекторий пучка), можно управлять положением в фазовом пространстве. Типичная задача О. у. п. в условиях неопределенности теперь состоит в оптимизации u(t).в силу функционала Ф типа максимума

(5)

(тогда решение u⁰(t).задачи будет обеспечивать нек-рый гарантированный результат) или интегрального функционала

(6)

Применение техники вывода необходимых условий оптимальности или ее модификаций позволило сформулировать требования, обеспечивающие существование аналогов принципа Понтрягина для задач (5), (6) (в первом случае он принимает форму нек-рого условия минимакса). Для линейных систем эти задачи допускают столь же детальное решение, как и в случае полной информации (см. [3], [20], [21] ).

Лит.:[1] Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф., Математическая теория оптимальных процессов, 3 изд., М., 1976; [2] Красовский Н. Н., Теория управления движением, М., 1968; [3] Красовский Н. Н., Субботин А. И., Позиционные дифференциальные игры, М., 1974; [4] Калман Р., в кн.: Труды 1 Международного конгресса Международной федерации по автоматическому управлению, т. 2, М., 1961, с. 521-47; [5] Л и Э.- Б., Маркус Л., Основы теории оптимального управления, пер. с англ., М., 1972; [6] Гамкрелидзе Р. В., Основы оптимального управления, Тбилиси, 1977; [7] Варга Дж., Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями, пер. с англ., М., 1977; [8] Иоффе А. Д., Тихомиров В. М., "Успехи матем. наук", 1968, т. 23, в. 6, с. 51-116; [9] Дубовицкий А. Я., Милютин А. А., "Журн. вычисл. матем. и матем. физики", 1965, т. 5, М 3, с. 395- 453; [10] Neustadt L. W., Optimizations. A theory of necessary conditions, Princeton, 1974; [11] Пшеничный Б. Н., Необходимые условия экстремума, М., 1969;[12] Сlarke F. H., "Trans. Amer. Math. Soc.", 1975, v. 205, p. 247-62; [13] Sussmann H. J., "Math. Syst. Theory", 1977, v. 10, №3, p.263 - 284; [14] Лионс Ж., Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными, пер. с франц., М., 1972; [15] Болтянский В. Г., Математические методы оптимального управления, М., 1966; [16] его же, Оптимальное управление дискретными системами, М., 1973; [17] Габасов Р., Кириллова Ф. М., Особые оптимальные управления, М., 1973; [18] Кротов В. Ф., Букреев В. 3., Гурман В. И., Новые методы вариационного исчисления в динамике полета, М., 1969; [19] Левитин Б. С., Милютин А. А., Осмоловский Н. П., "Успехи матем. наук", 1978, т. 33, в. 6, с. 85-148; [20] Куржанский А. Б., Управление и наблюдение в условиях неопределенности, М., 1977; [21] Демьянов В. Ф., Малоземов В. Н., Введение в минимакс, М., 1972. А. Б. Куржанский.