ОПЕРАТОРНАЯ ГРУППА

Значение ОПЕРАТОРНАЯ ГРУППА в математической энциклопедии:

- 1) О. г.- однопараметрическая группа операторов в банаховом пространстве Е, т. е. семейство линейных ограниченных операторов , такое, что U₀=I, U_s+t=U_s*U_t и U_t непрерывно зависит от t(в равномерной, сильной или слабой топологии). Если Е - гильбертово пространство и ||U_t|| равномерно ограничены, то группа {U_t} подобна группе унитарных операторов (теорема Надя).

Лит.:[1] S z.-N a g у В., "Acta Univ. szeged. Sec. scient. Math.", 1947, t. 11, p. 152-57; [2] X и л л е Э., Ф и л л и п с Р., Функциональный анализ и полугруппы, пер. с англ., 2 изд., М., 1962. В. <И. <Ломоносов.

2) О. г., группа с областью операторов 2,- такая группа G, что всякому элементу и всякому , где 2 - нек-рое множество символов, поставлен в соответствие элемент , причем при любых . Пусть Gи G'- группы с одной и той же областью операторов S; изоморфное (гомоморфное) отображение ф группы Gна G' наз. оцераторным изоморфизмом (гомоморфизмом), если (аs)j=(аj)s для любых , Подгруппа (нормальный делитель) H группы Gс областью операторов S наз. допустимой подгруппой (допустимым нормальным делителем), если при всяком . Пересечение всех допустимых подгрупп, содержащих данное подмножество Мгруппы G, наз. допустимой подгруппой, порожденной множеством М. Группа, не имеющая допустимых нормальных делителей, кроме себя и единичной подгруппы, наз. простой (относительно заданной области операторов). Всякая факторгруппа О. г. по допустимому нормальному делителю является группой с той же областью операторов.

Группа G наз. группой с полугруппой операторов S, если G - группа с областью операторов S,S- полугруппа и для любых . Если S - полугруппа с единицей е, то считается, что аe=апри всяком . Всякая группа с произвольной областью операторов S₀ есть группа с полугруппой операторов S , где S - свободная полугруппа, порожденная множеством S₀. Группа Fс полугруппой операторов S, обладающей единицей, наз. S - свободной, если она порождается такой системой элементов X, что элементы ха, где , , составляют для F(как группы без операторов) систему свободных образующих. Пусть Fесть Г-свободная группа (Г- группа операторов), Д - подгруппа группы , D - допустимая подгруппа группы F, порожденная всеми элементами вида f^-1(fа), где Тогда всякая допустимая подгруппа группы Fявляется операторным свободным произведением групп типа Af,D и нек-рой Г-свободной группы (см. [2]). Если S - свободная полугруппа операторов, то при допустимая подгруппа S -свободной группы F, порожденная элементом а, сама является S-свободной группой со свободным образующим а(см. также [3]).

Абелева группа с ассоциативным кольцом операторов К- это модуль над К.

Лит.:[1] Курош А. Г., Теория групп, 3 изд., М., 1967; [2] 3авало С. Т., "Матем. сб.", 1953, т. 33, с. 399-432; [3] его же, "Укр. матем. ж.", 1964, т. 16, № 5, с. 593-602; № 6, с. 730 - 51. А. П. Мишина.