ОБЛАСТЬ

Значение ОБЛАСТЬ в математической энциклопедии:

-непустое связное открытое множество точек топологич. пространства . Замыкание области Dная. замкнутой областью; замкнутое множество наз. границей О. D. Точки наз. также внутренними точками О. D; точки наз. граничными точками для О. D;. точки дополнения - внешними точками для О. D.

Любые две точки О. Dдействительного евклидова пространства (либо комплексного пространства либо римановой поверхности или римановой области), можно соединить путем (или дугой), целиком расположенным в D, а в случае или - даже ломаной линией с конечным числом звеньев. Конечные и бесконечные открытые интервалы - единственные О. на числовой прямой ; их границы состоят не более чем из двух точек. Область Dна плоскости наз. односвязной, если любой замкнутый путь в Dможно непрерывно деформировать в точку, оставаясь все время вО . D. Вообще говоря, граница односвязной О. открытой плоскости или

может состоять из любого числа ксвязных компонент, . Если же Dрассматривается как О. компактной расширенной плоскости или и число ккомпонент границы конечно, то кназ. порядком связности плоской О. D;при О. Dназ. мвогосвязной. Иначе говоря, порядок связности кна единицу больше минимального числа разрезов, попарно соединяющих компоненты границы, к-рые нужно провести, чтобы превратить О. D в односвязную. При k=2 О. наз. двусвязной, при k=3 - трехсвязной и т. <д.; при имеем конечносвязные О., при - бесконечносвязные О. Порядок связности плоской О. характеризует ее топологический тип. Топологич. типы О. пространств нельзя характеризовать каким-либо одним числом.

Даже в случае односвязной плоской О. метрич. строение ее границы может быть очень сложным (см. Граничные элементы). В частности, точки границы делятся на достижимые точки для к-рых существует путь , соединяющий в Dс любой точкой , и недостижимые точки, для к-рых такого пути не существует. Множество достижимых точек границы Fr Dлюбой плоской односвязной О. всюду плотно на Fr D.

Область Dпространства или наз. ограниченной, или конечной, если

в противном случае О. Dназ неограниченной, или бесконечной. Замкнутая жорданова плоская кривая разделяет плоскость или на две жордановы О.: конечную и бесконечную . Все граничные точки жордановых О. достижимы.

Е. Д. Соломенцев.