НЭША ТЕОРЕМЫ

Значение НЭША ТЕОРЕМЫ в математической энциклопедии:

в дифференциальной геометрии - две группы теорем об изометрич. вложениях и погружениях римановых многообразий в евклидовы пространства, и первоначальные варианты к-рых принадлежат Дж. Нэшу (J. Nash).

1) Н. т. о -вложениях и -погружениях. Погружение класса (вложение) n-мерного риманова пространства класса с метрикой в m-мерное евклидово пространство наз. коротким, если индуцированная им на метрика такова, что квадратичная форма положительно определена. Тогда если допускает короткое погружение (вложение) в то допускает и изометрич. погружение (вложение) класса в . Эта теорема при ограничении доказана в [1], а в приведенной формулировке доказана в [2]. Из этой теоремы вытекает, в частности, что если компактное риманово многообразие имеет вложение (погружение) в допускает и изометрич. -вложение (погружение) в Другим следствием Н. т. является наличие у каждой точки достаточно малой окрестности, допускающей изометрич. вложение класса в

2) Н. т. о регулярных вложениях. Всякое компактное риманово многообразие класса допускает изометрич. вложение в , где . Если некомпактно, то оно допускает. <изометрич. вложение в , где

Н. т. о регулярных вложениях получена в результате применения теоремы об обращении широкого класса дифференциальных операторов - Н. т. о неявной функции. Смысл этой теоремы состоит в том, что из разрешимости нек-рой линейной алгебраич. системы уравнений, естественно связанной с дифференциальным оператором L, и при введении разумной топологии в образе и прообразе рассматриваемый оператор является открытым отображением, т. е. оператор Lлокально обратим вблизи любой точки из множества его значений. Для уравнений вложения риманова пространства в евклидово эти условия сводятся к тому, что первые и вторые производные отображения по внутренним координатам должны быть линейно независимыми. Такие вложения были впервые рассмотрены в [4]; они наз. свободными вложениями. Из Н. т. о неявной функции вытекает, что компактное риманово многообразие , достаточно близкое к компактному риманову многообразию , допускающему свободное вложение в , также допускает свободное вложение в . Этот факт и своеобразный метод продолжения по параметру привели к Н. т. о регулярных вложениях (см. [3]). С помощью распространения методов Нэша на некомпактные многообразия и аналитич. вложения, а также с помощью кардинального усовершенствования процесса продолжения по параметру доказано, что всякое бесконечно дифференцируемое (аналитическое) риманово многообразие допускает изометрическое дифференцируемое (аналитическое) вложение в , где

Лит.:[1] Наш Д ж., "Математика", 1957, т. 1, № 2, с. 3-16; [2] Кёйпер Н., там же, т. 1, №2, с. 17-28; [3] Нэш Дж., "Успехи матем. наук", 1971, т. 26, в. 4, с. 173- 216; [4] Бурстин К., "Матем. сб.", 1931, т. 38, № 3-4, с. 74-85.

Д. Д. Соколов.