НЬЮТОНА МЕТОД

Значение НЬЮТОНА МЕТОД в математической энциклопедии:

метод касательны х,- метод приближенного нахождения корней действительного уравнения

где f - дифференцируемая функция. Последовательные приближения Н. м. вычисляются по формулам

Если функция дважды непрерывно дифференцируема, - простой корень уравнения (1) и начальное приближение лежит достаточно близко к , то Н. м. обладает квадратичной сходимостью, т. е.

где с - константа, зависящая только от функции f и начального приближения

Часто вместо (2) для решения задачи (1) применяется т. н. модифицированный метод Ньютона:

При тех же предположениях, при к-рых Н. м. имеет квадратичную сходимость, метод (3) имеет линейную сходимость, т. е. сходится со скоростью геометрия, прогрессии со знаменателем меньше единицы.

Применительно к решению нелинейного операторного уравнения с оператором где и - нек-рые банаховы пространства, обобщение (2) наз. методом Ньютона-Канторовича. Формулы этого метода имеют вид

где - производная Фреше оператора Ав точке , являющаяся обратимым оператором, действующим из в . При специальных предположениях метод Ньютона - Канторовича обладает квадратичной сходимостью, а соответствующий модифицированный метод - линейной сходимостью.

Н. м. разработан И. Ньютоном (I. Newton, 1669). Лит.:[1] Канторович Л. В., "Успехи матем. наук", 1948, т. 3, в. 6, с. 89 - 185; [2] Канторович Л. В., Акилов Г. П., Функциональный анализ, 2 изд., М., 1977; [3] Коллатц Л., Функциональный анализ и вычислительная математика, пер. с нем., М., 1969; [4] Приближенное решение операторных уравнений, М., 1969; [5] Бахвалов Н. С, Численные методы, 2 изд., М., 1975.

Ю. А. Кузнецов.