НЕФОРМАЛЬНЫЙ АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД

Значение НЕФОРМАЛЬНЫЙ АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД в математической энциклопедии:

- аксиоматический метод, не фиксирующий жестко применяемого языка и тем самым не фиксирующий границы содержательного понимания предмета, но требующий аксиоматич. определения всех специальных для данного предмета исследования понятий. Этот термин не имеет общепринятого толкования.

История развития аксиоматич. метода характеризуется все возрастающей степенью формализации. Н. а. м. -определенная ступень в этом процессе.

Первоначальное, данное Евклидом, аксиоматич. построение геометрии отличалось дедуктивным характером изложения, при к-ром в основу клались определения (пояснения) и аксиомы (очевидные утверждения). Из них, опираясь на здравый смысл и очевидность, выводились следствия. При этом в выводе неявно иногда использовались не зафиксированные в аксиомах предположения геометрия, характера, особенно относящиеся к движению в пространстве и взаимному расположению прямых и точек. Впоследствии были выявлены геометрия, понятия и регламентирующие их употребление аксиомы, неявно используемые Евклидом и его последователями. При этом возникал вопрос: действительно ли выявлены все аксиомы. Руководящий принцип для решения этого вопроса сформулировал Д. Гильберт (D. Hilbert): "Следует добиться того, чтобы с равным успехом можно было говорить вместо точек, прямых и плоскостей о столах, стульях и пивных кружках". Если доказательство не теряет доказательной силы после такой замены, то действительно все используемые в этом доказательстве специальные предположения зафиксированы в аксиомах. Достигаемая при таком подходе степень формализации представляет собой уровень формализации, характерный для Н. а. м. Эталоном здесь может служить классич. труд Д. Гильберта "Основания геометрии" [1].

Н. а. м. применяется не только для придания определенной завершенности аксиоматически излагаемой конкретной теории. Он представляет собой действенное орудие математия. исследования. Поскольку при изучении системы объектов по этому методу не используется их специфика, или "природа", то доказанные утверждения переносятся на любую систему объектов, удовлетворяющую рассматриваемым аксиомам. Согласно Н. а. м., аксиомы - это неявные определения первоначальных понятий (а не ояевидные истины). Что представляют собой изучаемые объекты - неважно. Все, что нужно о них знать, сформулировано в аксиомах. Предметом изучения аксиоматич. теории служит любая ее интерпретация.

Н. а. м., кроме непременного аксиоматич. определения всех специальных понятий, имеет и другую характерную особенность. Это свободное, неконтролируемое аксиомами, основанное на содержательном понимании использование идей и понятий, к-рые можно применить к любой мыслимой интерпретации, независимо от ее содержания. В частности, широко используются теоретико-множественные и логич. понятия и принципы, а также понятия, связанные с идеей счета, и др. Проникновение в аксиоматич. метод рассуждений, основанных на содержательном понимании и здравом смысле, а не на аксиомах, объясняется нефиксированностью языка, на к-ром формулируются и доказываются свойства аксиоматически заданной системы объектов. Фиксирование языка ведет к понятию формальной аксиоматич. системы (см. Аксиоматический метод )и создает материальную основу для выявления и четкого описания допустимых логич. принципов, для контролируемого употребления теоретико-множественных и других общих или не специальных для исследуемой области понятий. Если в языке нет средств (слов) дл, я передачи теоретико-множественных понятий, то этим отсеиваются все доказательства, основанные на использовании таких средств. Если в языке есть средства для выражения нек-рых теоретико-множественных понятий, то их применение в доказательствах можно ограничить определенными правилами или аксиомами.

Фиксируя различным образом язык, получают разлияные теории основного объекта рассмотрения. Напр., рассматривая язык узкого исчисления предикатов для теории групп, получают элементарную теорию групп, в к-рой нельзя сформулировать какого-либо утверждения о подгруппах. Если перейти к языку исчисления предикатов второй ступени, то появляется возможность рассматривать свойства, в к-рых фигурирует понятие подгруппы. Формализацией Н. а. м. в теории групп служит переход к языку системы Цермело - Френкеля с ее аксиоматикой.

Лит.:[1] Гильберт Д., Основания геометрии, пер. с нем., М.- Л., 1948; [2] Гильберт Д., Бернайс П., Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики, пер. с нем., [т. 1], М., 1979.

В. Н. Гришин.