МНОГОУГОЛЬНИК

Значение МНОГОУГОЛЬНИК в математической энциклопедии:

- 1) Замкнутая ломаная линия, именно: если - различные точки, никакие последовательные три из к-рых не лежат на одной прямой, то совокупность отрезков наз. многоугольником (см. рис. 1). М. могут быть пространственными или плоскими

(ниже рассматриваются плоские М.).

2) Связная (многосвязная) область, граница к-рой состоит из конечного числа отрезков и является замкнутой ломаной линией (или состоит из нескольких замкнутых ломаных, в этом случае М. иногда наз. многоугольной фигурой, см. рис. 2). Многоугольник в смысле первого определения наз. одномерным М., а в смысле второго определения - двумерным М.

Вершины ломаной линии (точки A_i )наз. вершинами М., отрезки - его сторонами. Две стороны, имеющие общую вершину, наз. смежными, а две вершины ломаной - концы одного отрезка ломаной - наз. смежными вершинами М. Если граница М. является простой ломаной линией, так что несмежные ее стороны не имеют общих точек (внутренних или концевых), то М. наз. простым. Если граница двумерного М. не является простой, то она наз. самопересекающейся (рис. 3) (самопересекающийся М. <в смысле первого определения). В этом случае М. является объединением простых М. Самопересекающаяся ломаная линия делит плоскость на определенное число куеков, один из к-рых - бесконечный. Если в качестве границы М. рассматриваются и лучи, то определяется бесконечный М., имеющий своей границей конечное число отрезков и лучей.

Всякий простой М. (или граница простого М.) делит плоскость на внутреннюю (конечную) и внешнюю (бесконечную) области (теорема Жордана). Простой М. может иметь весьма сложное строение границы. Для выяснения принадлежности какой-либо точки внешней или внутренней области достаточно провести из этой точки луч, не проходящий через вершины М.: если число пересечений луча с границей М. четное, то исследуемая точка лежит во внешней области, если нечетное - во внутренней.

Угол, образованный лучами, имеющими начало в нек-рой вершине М. и содержащими обе смежные стороны этой вершины, наз. внутренним углом (углом) М., если этот угол имеет непустое пересечение с внутренней областью М. и этому пересечению принадлежит рассматриваемая вершина М. (см. рис. 4). Сумма внутренних углов простого "-угольника равна 180° (п-2). Простой М. имеет хотя бы один внутренний угол, меньший развернутого.

Прямая, проходящая через две несмежные вершины М., наз. диагональной, а отрезок с концами в несмежных вершинах М. наз. диагональю М.

М. наз. ориентируемым, если можно указать порядок обхода его вершин так, что конец одной стороны является началом следующей. Границу М. в этом случае наз. многоугольным (ориентированным) замкнутым путем на плоскости. Ориентированный простой двумерный М. при обходе границы всегда остается либо только слева от границы, либо только справа от нее; области М. с самопересекающейся границей могут оказаться по разные стороны от нее.

Простой М. наз. правильным (метрически правильным), если все его углы конгруэнтны между собой как конгруэнтны и все стороны (имеют равные длины). Около правильного М. можно описать окружность и можно вписать окружность в правильный М. Радиус вписанной окружности является апофемой правильного М. Правильные М. с одинаковым числом сторон подобны друг другу. В приведенной таблице указаны радиус описанной окружности, радиус вписанной окружности и площадь нек-рых правильных многоугольников (а- длина стороны М.).

М. наз. выпуклым, если он располагается по одну сторону относительно прямой, содержащей любую сторону М. Выпуклый М.- всегда простой. Правильный М. является выпуклым. В выпуклом М. число диагоналей равно (п- число сторон), из каждой вершины можно провести п-3 диагоналей, к-рые делят М. на п-2 треугольников (рис. 5).

Угол, смежный с внутренним углом выпуклого М., наз. внешним. Сумма внешних углов, взятых по одному при каждой вершине, выпуклого М. составляет полный угол (360°). Внешний угол наз. поворотом границы М. в вершине.

Самопересекающийся М., все стороны к-рого конгруэнтны и все углы конгруэнтны, наз. звездчатым (звездчато-правильным). Зпоздчатые М. существуют при числе сторон начиная с пяти, их можно рассматривать как определенную совокупность диагоналей правильного n-угольника.

Полуправильным наз. М., у к-рого конгруэнтны только все углы или конгруэнтны только все стороны. Пояуправильный М. с четным числом вершин наз. равноугольно-полуправ ильным, если у него все углы конгруэнтны, а стороны конгруэнтны через одну (простейший пример - прямоугольник). Всегда существует окружность, проходящая через все вершины равноугольно-полуправильного М. Существуют также две окружности, из к-рых каждая касается сторон равноугольно-полуправильного М. через одну. Полуправильный М. с четным числом вершин наз. равносторонне - полуправильным, если все его стороны конгруэнтны, а углы конгруэнтны через один (простейший пример - ромб). В равносторонне-полуправильный М. можно вписать окружность так, что она будет касаться всех его сторон; существуют две окружности, из к-рых каждая проходит через вершины этого М., взятые через одну. Построение равноугольно-полуправильных и равносторонне-полуправильных М. осуществляется с помощью правильных М.

Правильный М. может быть построен циркулем и линейкой в случае, если число его сторон где - целые простые различные числа вида - целое положительное число (теорема Гаусса). Известны пять чисел указанного вида: 3, 5, 17, 257, 65537. Никакие другие правильные М. не могут быть построены циркулем и линейкой. Таким образом, можно построить циркулем и линейкой правильные n-угольники, если n=3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 32, 34, ... , и нельзя построить циркулем и линейкой, если n=7, 9, 11, 13, 14, 18, 19, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 33, .... Задача построения правильного n -угольника эквивалентна задаче деления окружности на правных частей.

Построение звездчатых n-угольников осуществляется также с помощью деления окружности на равные части: если соединить отрезками делящие точки окружности через каждые рделений (р- целое число, взаимно-простое с п, р<n), то получается звездчатый n-угольник. Напр., при n=15 существуют 3 различные звездчатые 15-угольнпки. На рис. 6 изображены правильные и звездчатые М. для п=3, 4, 5, 6, 7.

В нек-рых разделах геометрии под сторонами М. понимают прямые, на к-рых лежат отрезки замкнутой ломаной линии. В этом случае М. наз. м н о г о с" т о-ройником. Возможны одновременно вписанные и описанные М. (вершины одного лежат на стороне другого) и даже одновременно описанные и вписанные сами в себя многосторонними (см.-, напр., Конфигурация).

Площадь любого М. может быть вычислена путем разложения на треугольники, квадраты и т. д. Площади ориентированного простого М. приписывается знак плюс, если при обходе границы внутренняя область остается слева, и минус, если область останется справа.

В случае, когда граница М. является многоугольным замкнутым самопересекающимся путем, делящим плоскость на куски, то площадь такого М. может быть определена с помощью т. н. коэффициента куска: если из нек-рой точки во внешней области М. провести отрезок в точку, лежащую внутри данного куска, и граница М. пересекает этот отрезок рраз слева направо и qраз справа налево, то р-q наз. коэффициентом куска. Этот коэффициент не зависит от выбора указанных двух точек. Площадью ориентированного М. (площадью многоугольного пути) в этом случае является сумма площадей каждого куска, умноженных на соответствующий коэффициент куска.

Если на плоскости введена декартова прямоугольная система координат , то площадь ориентированного М. вычисляется при помощи интеграла где у- ордината точек границы М., обходимой один раз. В полярных координатах площадь М. вычисляется при помощи интеграла где пробегает один раз границу М.

М. может быть криволинейны м, его граница состоит из конечного числа кусков кривых. Такие М. существуют и на кривых поверхностях. Если граница М. на поверхности состоит из кусков дуг геодезич. линий этой поверхности, то М. наз. геодезическим. В случае, когда М. ограничен отрезками асимптотич. линий поверхности, то М. наз. асимптотическим, и т. д. Для криволинейных М. определяется внутренний угол при вершине, к-рый связан с поворотом границы в вершине и составляет с ним развернутый угол (поверхности предполагаются регулярными). Простые М. на поверхности могут иметь всего две стороны и две вершины (напр., геодезич. двуугольник на сфере).

М. может быть определен и как нек-рый набор векторов, к-рые рассматриваются как радиус-векторы вершин М. (n- угольника), т. е. точка (вершина) сопоставляется с нек-рым вектором. Свойства n -угольника переводятся на язык векторной алгебры, что Открывает возможность применения алгебраич. методов в исследовании классов М. Определяется, в частности, сумма М., произведение М. на нек-рое число из коммутативного поля (характеристика к-рого взаимно проста с числом вершин М.), циклич. классы п-угольников, циклнч. отображения и их алгебра и т. п. На этом пути оказывается возможным устанавливать многие общие свойства n -угольников (см., напр., [3]).

М. определяется также и с помощью понятия выпуклой оболочки, к-рая является выпуклым М. Именно; фигура Ф наз. М., если ее можно разложить на выпуклые М.:

где - выпуклые М.

Лит.:[1] Перепелкин Д. П., Курс элементарной геометрии, ч. 1, ML.-Л., 1948; [2] Адамар Ж., Элементарная геометрия, пер. с франц., 4 изд., ч. 1, М., 1957; [3] Бах -ман Ф., Шмидт З.,п- Угольники, пер. с нем., М., 1973; [4] Энциклопедия элементарной математики, кн. 4 - Геометрия, М., 1963.