МАКСВЕЛЛА УРАВНЕНИЯ

Значение МАКСВЕЛЛА УРАВНЕНИЯ в математической энциклопедии:

- уравнения электромагнитного поля в материальных средах; установлены в 60-х гг. 19 в. Дж. Максвеллом (J. Maxwell) на основе экспериментально найденных к тому времени законов электрических и магнитных явлений.

В классич. электродинамике для описания электромагнитного ноля в среде вводятся четыре векторных поля: напряженность электрич. поля Е, электрич. индукция D, напряженность магнитного поля Н н магнитная индукция В, к-рые являются непрерывными и дифференцируемыми функциями r радиус-вектора точки 3-мерного пространства и времени t. Эти поля определяются с точностью до постоянных множителей, позволяющих выбрать соответствующую систему физич. единиц измерения абсолютной величины этих полей.

М. у. представляют собой систему неоднородных дифференциальных уравнений с частными производными 1-го порядка для полей Е, D, Н, B, к-рая в т. н. абсолютной системе физич. единиц Гаусса имеет вид:

где неоднородные члены r(t, r) - заданное скалярное поле плотности электрич. заряда в среде и j(t, r) - векторное поле плотности электрич. тока (заряда, проходящего за единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению движения зарядов) являются источниками ноля, а с=3*10¹⁰ см/сек - постоянная, равная скорости распространения электромагнитных взаимодействий в вакууме. М. у. могут быть записаны также и в интегральной форме:

Поля E, D, H, В и j не являются независимыми, причем в согласии с экспериментальными фактами D и j зависят только от E, а В зависит только от Н, т. е'. имеют место следующие функциональные зависимости:

к-рые наз. уравнениями состояния, или материальными уравнениями сре-д ы. В рамках классической макроскопич. электродинамики уравнения состояния (3) должны быть заданы дополнительно (постулированы или определены но экспериментальным данным) и с их учетом система М. у. для двух независимых векторных полей E и Н становится замкнутой. Конкретный вид уравнений состояния (3) определяется электрическими и магнитными свойствами данной среды и ее состоянием. В общем случае в уравнениях состояния (3) векторные поля D, j и В в точке r в момент времени tмогут зависеть нелинейно от значении полей E и Н соответственно во всех точках среды (нелокальный случай) во все любые моменты времени, предшествующие согласно физич. принципу причинности - данному моменту t(случай среды с последействием или с памятью). Большинство имеющих практич. интерес сред характеризуется локальной линейной зависимостью D и j от Е и В от Н, и в этом случае М. у. оказываются линейными дифференциальными уравнениями, однако в приложениях встречаются и более сложные случаи (напр., в нелинейной оптике). Уравнения состояния (3) могут быть рассчитаны в принципе с помощью микроскопич. электродинамики, если учесть законы движения отдельных частиц среды и их индивидуальные микроскопич. характеристики (значения элсктрич. зарядов, масс). При этом значения макроскопич. полей E, H, D, В определяются как усредненные значения микроскопич. полей, создаваемых отдельными движущимися заряженными частицами среды, и для них справедливы М. у.

На поверхности раздела различных сред должны быть выполнены граничные условия

где j_пов - плотность поверхностного тока, - плотность поверхностного заряда, п - единичный вектор нормали к поверхности раздела, индексы ₁ и ₂ отмечают значения полей с разных сторон поверхности раздела.

Следствием М. у. является уравнение непрерывности

выражающее закон сохранения электрич. заряда.

М. у. инвариантны относительно преобразований Лоренца. Если в псевдоевклидовом пространстве 4-мерном пространстве-времени с координатами х ₁=х, х₂=у, x₃=z, x₄=ict ввести два антисимметричных 4-мерных тензора F_kl и G_kl(k, l=1, 2, 3, 4) с компонентами

а также 4-мерный вектор тока j_k, k=1, 2, 3, 4, пространственные компоненты к-рого j_l=i_x, j₂=i_y, j₃=i_z совпадают с компонентами тока j и четвертая' компонента пропорциональна плотности заряда, то М. у. (1) могут быть записаны в релятивистски ковариантнон форме:

Уравнения (5) представляют собой 4-мерную форму записи М. <у. (1б) и (1в), а уравнения (6) - 4-мерную форму записи М. у. (1а) и (1г).

Для электромагнитного поля в вакууме, по определению, и, следовательно, и электромагнитное поле описывается лишь одним тензором F_kl. Если ввести 4-мерный вектор электромагнитного потенциала А _k, k=1, 2, 3, 4, пространственные компоненты к-рого A₁=A_x, А ₂=А _у, A₃=A_z образуют т. н. 3-мерный вектор-потенциал A(t, r), а четвертая временная компонента A₄=ij пропорциональна скалярному потенциалу поля то компоненты антисимметричного тензора электромагнитного поля F_kl можно выразить через компоненты 4-мерного вектора электромагнитного потенциала А _k согласно соотношению

С учетом (7) уравнения (5) удовлетворяются тождественно, а уравнения (6) принимают вид

т. е. неоднородных волновых уравнений для компоненты A_k. Введение в рассмотрение потенциала A_k позволяет записать М. у. в простой форме (8), однако потенциал А _k определен неоднозначно, что отражает инвариантность М. у. в форме (8) относительно градиентных преобразований. Указанная неоднозначность в определении потенциала A_k может быть устранена (см. Градиентное преобразование).

Согласно (4) и (7) физически наблюдаемые поля Е и Н можно выразить через вектор-потенциал А и скалярный потенциал j:

В случае, когда электромагнитное поле в вакууме является свободным, т. е. отсутствуют источники, М. у. (1) и (8) становятся однородными, и из М. у. (1) и (8) можно получить независимые однородные волновые уравнения для электрического и магнитного поля

где - лапласиан и с - скорость распространения электромагнитных волн в вакууме.

М. у. для электромагнитного поля применимы лишь в классич. теории, т. к. в случае, когда переменные электрическое и магнитное поля имеют очень высокие частоты и очень малые длины волн (сравнимые с длинами порядка размеров атомов), становятся существенными квантовые эффекты, и теория электромагнитного поля и его источников должна строиться на основе квантовой электродинамики.

Лит.:[1] М а к с в е л л Д ж. К., Избр. соч. по теории электромагнитного поля, пер. с англ., М., 1954; [2] Т а м м И. Е., Основы теории электричества, 7 изд., М., 1957; [3] Л а н-д а у Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М., Теория поля, 6 изд., М., 1973; [4] и х ж е, Электродинамика сплошных сред, М., 1957.