ЛОНГМАНА МЕТОД

Значение ЛОНГМАНА МЕТОД в математической энциклопедии:

- метод приближенного вычисления определенного интеграла

где f(х).имеет точно и корней х;внутри промежутка [ а, b]:

и удовлетворяет формулируемым ниже условиям. Пусть

тогда I= S, где

Предполагается, что f(x).сохраняет знак на промежутке [x_i, x_i+1]. и имеет разные знаки на соседних промежутках, при этом Такую функцию f(x).наз. колеблющейся. Вычисление I с помощью квадратурной формулы при большом и затруднительно, т. к. хорошее приближение колеблющейся функции на всем промежутке [ а, b]практически невозможно. Использование равенства I=S приводит к вычислению всех интегралов v_j, что также нецелесообразно в случае большого п.

Приближенное Вычисление I в Л. м. основано на равенстве

В равенство (1) входят конечные разности v_j как функции дискретного аргумента j:

Если функция v_j такова, что в правой части (1) можно пренебречь слагаемыми, содержащими конечные разности порядка р, то приближенное равенство

можно использовать для вычисления S. Чтобы вычислить правую часть (2), достаточно знать рпервых значений v_j,т. е. значения up последних значений Л. м. и состоит в использовании равенства (2).для приближенного вычисления суммы S.

Если в интеграле I верхний предел интегрирования и то вместо (1) следует воспользоваться равенством

(преобразование Эйлера) и ряд в правой части заменить частичной суммой. Метод предложен И. Лонгманом [1].

Лит.:El] L о n g m a n I. M., "Math. Comput.", 1960, v. 14, № 69, p. 53-59; [2] D a v i s P. J., R a b i n о w i t z P., Methods of numerical integration, N. Y., 1975.

И. П. Мысовских.