ЛОКАЛЬНЫХ ВАРИАЦИЙ МЕТОД

Значение ЛОКАЛЬНЫХ ВАРИАЦИЙ МЕТОД в математической энциклопедии:

один из прямых методов численного решения задач оптимального управления с ограничениями на фазовые координаты и управляющие функции, основанный на варьировании в пространстве состояний (см. [1] - [3]).

В Л. в. м. исходная задача оптимального управления, заданная в форме Лагранжа задачи, приводится в результате дискретизации по аргументу tи фазовому вектору хк задаче минимизации аддитивного функционала

при условиях

где x_k, и _k - векторы фазовых координат и управлений в узле t_k (имеющие размерности соответственно пи m), G_k - заданные области (n+m) -мерного пространства (G₀ и G_N описывают граничные условия), - шаг разбиения исходного интервала [t₀, Т]для независимого переменного. Существенным для Л. в. м. является условие равенства размерностей n=m векторов хи и, при к-ром построение элементарной операции оказывается достаточно простым. Под элементарной операцией понимается определение управления u_k, переводящего систему из точки (t_k, x_k).в близкую точку (t_k+1, x_k+1). При равенстве размерностей векторов хи ии при нек-рых дополнительных условиях управление и _k определяется на каждом интервале (t_k, t_k+1) из решения системы пуравнений (2), полученной в результате конечноразностной аппроксимации системы дифференциальных уравнений исходной вариационной задачи.

Пусть в качестве начального приближения задана нек-рая ломаная для к-рой выполнены условия (2), (3). Алгоритм Л. в. м. состоит в последовательном улучшении положения узлов, через к-рые проходит ломаная Г ₀, осуществляемом в результате поочередного локального варьирования каждой j-й компоненты вектора х _k. На каждом участке от t_k до t_k₊₂, k=0, 1, ..., при фиксированных x_k, и x_k+2 каждая j-я компонента вектора х/, поочередно варьируется с шагом h_j>0. Если в результате этого варьирования значение функционала (1) уменьшается (при выполнении условий (2), (3)), то аналогичное варьирование производится с очередной (j+1) -й компонентой вектора х _k, в противном случае ;'-я компонента варьируется с шагом (-h_j). Такое локальное варьирование осуществляется последовательно для всех узлов ломаной Г ₀. В результате к моменту окончания итерации получается новая ломаная Г ₁, на к-рой функционал (1) принимает значение, не большее чем на начальном приближении Г ₀. Последующие итерации выполняются аналогично. При необходимости производится уменьшение шагов hj и Приближенное решение исходной вариационной задачи определяется путем интерполяции по найденным значениям управления на каждом шаге.

При m=n=1 решение, полученное Л. в. м. при заданных значениях удовлетворяет конечноразностной аппроксимации уравнения Эйлера с точностью до членов порядка (см. [3]).

Если варьирование исходной ломаной Г ₀ не ограничивается поочередным варьированием ее узлов, а осуществляется на более полном графе, соответствующем выбранным шагам и h_j и включающем ломаную Г ₀, то говорят о блуждающей трубки методе.

При m<n выполнение элементарной операции связано с нек-рыми трудностями. В этом случае вместо Л. в. м. может применяться близкий к нему бегущей волны метод.

Л. в. м. непосредственно обобщается на вариационные задачи с неаддитивными функционалами, в к-рых ограничения носят характер изопсриметрич. условий (см. [3]). Л. в. м. может быть распространен на вариационные задачи, в к-рых неизвестные функции зависят от нескольких независимых переменных и соответствующие функционалы задаются в виде интегралов по областям различной размерности (см. [2]).

Лит.:[1] Моисеев Н. Н., Численные методы в теории оптимальных систем, М., 1971; [2] Крылов И. А., Ч е р н о у с ь к о Ф. Л., "Ж. вычислит. матем. и матем. физ.", 1966, т. 6, № 2, с. 203-17; [3] В а н и ч у к Н. В., II е т р о в В. М., Черноусько Ф. Л., там же, 1969, т. 9, № 3, с. 548-57.

И. Б. Вапнярский.