ЛОКАЛЬНАЯ ГРУБОСТЬ

Значение ЛОКАЛЬНАЯ ГРУБОСТЬ в математической энциклопедии:

компактного инвариантного множества Fгладкой динамич. системы - сохранение всех топологич. свойств системы в нек-рой окрестности Fпри любых достаточно малых (в смысле С ¹) возмущениях системы. Точнее, Л. г. состоит в следующем: имеются такие окрестности и для любого найдется такое что при возмущении исходной системы в U, отстоящем от нее в С ¹ -метрике не более чем на существует такое гомеоморфное вложение к-рое сдвигает точки не более чем на е и переводит отрезки траекторий исходной системы, лежащие в V, в нек-рые отрезки траекторий возмущенной системы. (Таким образом, Л. г., строго говоря, есть свойство не самого множества F, а системы, рассматриваемой в окрестности F.)

Если F - положение равновесия потока (или неподвижная точка каскада, т. е. динамич. системы с дискретным временем), то Л. г. Fозначает сохранение топологич. свойств системы при линеаризации в точке F. Почти очевидно, что необходимым условием Л. г. в этом случае является расположение собственных значений линеаризованной системы вне мнимой оси (соответственно непопадание их на единичную окружность). Это условие является и достаточным (теорема Гробмана - Хартмана, см. [1] гл. IX). Отсюда легко выводится необходимое и достаточное условие Л. г. периодической траектории потока: только один мультипликатор уравнения в вариациях лежит на единичной окружности. Имеются также результаты о Л. г. нек-рых гиперболических множеств (см. [2], [3]).

Лит.:[1] X а р т м а н Ф., Обыкновенные дифференциальные уравнения, пер. с англ., М., 1970; [2] Аносов Д. В., в кн.: Тр. 5-й Международной конференции по нелинейным колебаниям, т. 2 - Качественные методы ..., К., 1970, с. 39-45; [3] Robinson С., "Ann. Math.", 1974, v. 99, № 1, p. 154 - 75.

Д. В. Аносов.