ЛОБАЧЕВСКОГО ПРОСТРАНСТВО

Значение ЛОБАЧЕВСКОГО ПРОСТРАНСТВО в математической энциклопедии:

пространство, геометрия к-рого определяется аксиомами Лобачевского геометрии. В более широком смысле Л. п. понимается как неевклидово гиперболич. пространство, определение к-рого связано с понятиями геометрии псевдоевклидова пространства. Пусть ⁿR_n+1 - псевдоевклидово (n+1) -пространство индекса n;на n-сфере этого пространства рассматривается множество пар диаметрально противоположных точек. Множество элементов, изометричное множеству пар указанных выше точек n-сферы пространства ⁿR_n+1, наз. n-пространством Лобачевского н обозначается ¹S_n. Такое определение Л. п. позволяет вшпочить это пространство в проективную классификацию неевклидовых пространств. Пространство ¹S_n в проективном пространстве Р _п изображается внутренней областью овальной ( п-1)-квадрики, к-рая является пересечением n-сферы мнимого радиуса с бесконечно удаленной плоскостью пространства ⁿR_n+1, дополняющей это пространство до проективного пространства P_n+1. Точки овальной ( п-1)-квадрики являются бесконечно удаленными точками пространства ¹S_n, т. е. квадрика является абсолютом этого пространства. Внешняя область квадрики, дополняющая пространство ¹S_n до полного пространства Р _n наз. идеальной областью пространства ¹S_n. Указанная интерпретация наз. проективной интерпретацией К э л и - Клейна. Она может быть получена также путем проектирования n-сферы мнимого радиуса пространства ⁿR_n+1 из ее центра на касательную n-плоскость, к-рая является евклидовым n-пространством; при этом пространство ¹S_n изображается внутренней областью n-шара в этой n-плоскости, граница n-шара является абсолютом пространства ¹S_n (иногда последнюю интерпретацию пространства ¹S_n в евклидовом пространстве R_n наз. интерпретацией Бельтрами - К л е й н а).

Проективная интерпретация 3-простран'ства Лобачевского позволяет проверить выполнение аксиом геометрии Лобачевского, дать изображение всех фигур этой геометрии и установить их свойства. В частности, в указанной интерпретации просто устанавливаются геометрич. свойства 2-плоскости Лобачевского, вытекающие из аксиом геометрии Лобачевского.

Присоединением к пространству ^lS_n точек абсолюта и точек идеальной области определяется расширенное Л. п. m-плоскость, m<n, пересекающаяся с абсолютом, наз. собственной m-плоскостью; не пересекающая абсолюта - идеальной m-плоскостыо; m-плоскость, касающаяся абсолюта, - изотропной m-плоскостью. Таким же образом классифицируются прямые пространства ¹S_n. Полюсы собственных плоскостей являются идеальными точками, а собственные точки - полюсами идеальных плоскостей. Вообще, полярные (n- т-1)-плоскости собственных m-плоскостей Л. п. ¹S_a суть идеальные (n-т-1)-плоскости, и полярные (n- т-1)-плоскости идеальных m-плоскостей - собственные (n- т-1)-плоскости.

В пространстве ¹S_n в качестве координат точки Xможно рассматривать координаты вектора жэтой точки в пространстве ⁿR_n+1, принадлежащей n-сфере мнимого радиуса. Координаты вектора x(Вейерштрасса координаты).при этом должны удовлетворять условию

Используются также координаты Бельтрами, .

причем В пространстве ¹S_n вводятся декартовы координаты u¹, u², . . ., uⁿ, связанные с координатами х ⁱ соотношениями

где - радиус кривизны пространства ¹S_n. Расстояние между точками Xи Yопределяется соотношением

где х, у - определенные выше векторы точек Xи У, Е - линейный оператор, определяющий скалярное произведение в пространстве этих векторов.

Угол между двумя плоскостями Л. п. ¹S_n совпадает с углом между re-плоскостями псевдоевклидова пространства ⁿR_n+1, соответствующим этим плоскостям. Угол j между плоскостями связан с расстоянием между полюсами этих плоскостей соотношением

когда угол j - действительный, а - чисто мнимое, и

когда угол j - чисто мнимый, а расстояние - действительное.

Расстояние между точками и величины углов между плоскостями допускают выражения через двойное отношение точек с помощью точек абсолюта.

В Л. п. ¹S_n определяются сферы (шары), эквидистантные поверхности, орисферы (орициклы при n=2), m-симплексы и т. д.

Классификация движений Л. п. ¹S_n как коллинеаций, переводящих точки абсолюта (овальной квадрики) в себя, сводится к классификации вращений псевдоевклидова пространства ⁿR_n+1. Группа движений пространства ¹S_n изоморфна факторгруппе группы вращений пространства ⁿR_n+1 по ее подгруппе, состоящей из тождественного преобразования и отражения от точки; состоит из двух связных компонент, является группой Ли. Движения Л. п. ¹S_n описываются псевдоортогональными операторами индекса n. Для задания движения пространства ¹S_n достаточно указать, в какие точки переходят n+1 точек, не лежащих в одной ( п-1)-плоскости.

Существует ряд конформных интерпретаций Л. п., одной из к-рых является Пуанкаре интерпретация. Возможна также конформная интерпретация пространства на его плоскости. Кроме указанных существуют интерпретации в комплексных пространствах. В частности, для пространства ¹S₃ строятся Котелъникова интерпретации многообразий прямых.

С помощью проективных интерпретаций наиболее полным образом классифицируются квадрики в пространстве ¹S_n и, в частности, на 2-плоскости ¹S₂.

Пространство ¹S_n является римановым n-пространством постоянной отрицательной кривизны где - радиус кривизны пространства. Геометрия Л. п. в достаточно малых окрестностях точек близка к геометрии евклидова пространства такой же размерности.

В целом пространство ¹S_n гомеоморфно пространству R_n, оно бесконечно простирается во всех направлениях. Всякая m-плоскость пространства ¹S_n, m<n, является пространством ¹S_т. Кроме того, прямые линии пространства ¹S_n являются его геодезич. линиями, а m-плоскости - вполне геодезич. m-поверхностями этого пространства.

В проективной классификации метрик неевклидовых пространств Л. п. также классифицируется по метрикам прямых, пучков плоскостей и m-плоскостей. В частности, на 2-плоскости Л. п. проективная метрика на прямой является гиперболической, а в пучках прямых - эллиптической.

Лит.:[1] Ефимов Н. В., Высшая геометрия, 6 изд., М., 1978; [2] K л е й н Ф., Неевклидова геометрия, пер. с нем., М.-Л., 1986; [3] Каган В. Ф., Основания геометрии, ч. 1-2, М.-Л., 1949 - 56; [4] Розенфельд Б. А., Неевклидовы пространства, М., 1969. Л. А. Сидоров.