" 0 C F G H K L N P S T W Z А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Э Ю Я

ЛИНЕЙНОЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ И СИСТЕМА

Значение ЛИНЕЙНОЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ И СИСТЕМА в математической энциклопедии:

- дифференциальное уравнение (и система) с частными производными вида

у к-poro в любой точке х=( х ₀, x₁ . . ., х _n).области его задания среди действительных переменных y₀, y₁ . . ., y_n можно выделить (в случае надобности - после надлежащего аффинного преобразования независимых переменных) одно переменное, напр. таким образом, чтобы для всех точек из п- мерного евклидова пространства характеристическое уравнение (относительно )

имело ровно Nm действительных корней. Здесь - вектор с неотрицательными целочисленными координатами,

- порядок дифференциального оператора
- порядок системы (1),

- заданная в области квадратная действительная матрица порядка

N - искомый вектор-столбец, f(х) - заданный в вектор с Nкомпонентами.

Типичным примером является волновое уравнение

К Л. г. у. и с. приводят многие задачи математич. физики.

Поверхность наз. характеристической в точке ж, если где

- характеристич. форма системы (1). Если то говорят, что вектор узадает в точке ххарактеристическое направление. Поверхность Sназ. характеристической поверхностью (или характеристикой) для системы (1), если

Поверхность, не имеющая характеристич. направления нормали ни в одной точке, наз. свободной поверхностью. На свободной поверхности ранг характеристической матрицы

равен N, в то время как на характеристич. поверхности Sон меньше N. Характеристика Sназ. простой, если для нек-рого j и для всех

В противном случае характеристику наз. кратной. Иногда характеристику наз. простой, если ранг матрицы равен N-1.

Система (1) наз. гиперболической в точке хотносительно гиперплоскости S_a: х ₀=0, если матрица невырожденная (т. е. поверхность Sсвободная) и все корни k=1, . .., mN, характеристич. уравнения действительные для всех точек

Система (1) наз. гиперболической в области относительно S₀, если она гиперболична относительно S₀ в каждой точке

Важным классом гиперболич. уравнений и систем являются строго гиперболич, уравнения и системы, к-рые иногда наз. вполне гиперболическими системами, или гиперболическими в узком смысле. Система (1) наз. строго гиперболической системой, когда все корни характеристич. уравнения различны для любого ненулевого вектора Характеристики строго гиперболич. уравнения (или системы) являются простыми. Строго гиперболические (относительно S₀) системы примечательны тем, что для них корректно поставлена задача Коши

при одних только предположениях достаточной гладкости коэффициентов системы (1) и начальных данных (начальных функций) Существуют примеры гиперболических, но не строго гиперболич. уравнений вида (1) (даже с постоянными коэффициентами при производных порядка т), для к-рых задача Коши поставлена некорректно.

Решение и(х).задачи Коши (4) для волнового уравнения (3) выписывается в явном виде, и оно в случае, когда и только тогда, обладает свойством; значение и(х).в вершине х* характеристического конуса зависит только от значения начальных данных и их производных на основании этого конуса (т. н. Гюйгенса принцип). Для строго гиперболических относительно S₀ уравнений и систем исследован вопрос о диффузии волн и о лакунах. Исчерпывающий ответ дан в случае уравнения с постоянными коэффициентами вида

Для одного (скалярного) уравнения с постоянными коэффициентами определение строгой гиперболичности обобщено следующим образом. Уравнение (1) наз. гиперболическим относительно ненулевого вектора если

и существует такое действительное число что для всех

Из всех линейных уравнений с постоянными коэффициентами только для уравнений, гиперболических в этом смысле, задача Коши поставлена корректно при произвольных достаточно гладких начальных функциях, заданных на гиперплоскости

В частности, волновое уравнение (3) является гиперболическим в указанном смысле относительно любого вектора, для к-рого

Существуют различные обобщения определения строго гиперболич. уравнений и систем. В основном это такие уравнения и системы, к-рые полностью характеризуются тем, что для них однозначно разрешима задача Коши с данными на свободной поверхности при любых достаточно гладких начальных функциях без всяких ограничений роста на бесконечности.

Другим важным классом линейных гиперболич. систем 1-го порядка является класс симметрических гиперболич. систем. Система

где a_j(x), b (х) - заданные в области W квадратные матрицы порядка N, а и(х) - искомый вектор из N компонент, наз. симметрической гиперболической системой в области W, если матрицы a_j(x).симметрические (или симметризуемые одновременно одним и тем же преобразованием) и в каждой точке существует пространственно ориентированная гиперплоскость, т. е. гиперплоскость, нормаль к-рой y=( у ₀, . . ., у _п) обладает тем свойством, что матрица положительно определена. Если для симметрической гиперболич. системы (5) с достаточно гладкими коэффициентами заданные начальные функции и правая часть имеют интегрируемые с квадратом обобщенные частные производные порядка р, то существует единственное обобщенное решение задачи Коши с тем же числом интегрируемых с квадратом частных производных. К симметрическим гиперболич. системам сводится любое строго гиперболич. уравнение 2-го порядка.

Уравнение (1) 2-го порядка в классе регулярных в области решений можно записать в виде

где - заданные в Wдействительные функции. Уравнение (6) гиперболично в области W, если в каждой точке этой области все характеристич. числа матрицы старших коэффициентов a_kj(x).отличны от нуля, причем одно из этих чисел отличается по знаку от всех остальных. По отношению к уравнению (6), наряду с характеристич. поверхностью, выделяют два типа гладких поверхностей: пространственно ориентированные поверхности и временным образом ориентированные поверхности. Если поверхности заданы уравнением вида то на поверхности первого типа а на поверхности второго типа где

Задача Коши для гиперболич. уравнений с начальными данными на временным образом ориентированных поверхностях, вообще говоря, не является корректно поставленной.

Гиперболич. уравнение

наз. равномерно (или регулярно) гиперболическим в области W, если существует такое положительное число что

для всех хиз и любого ненулевого вектора При n=1 неравенство

представляет собой необходимое и достаточное условие равномерной гиперболичности уравнения (6) в области W. Уравнение колебания струны

является типичным представителем линейных равномерно гиперболич. уравнений 2-го порядка с двумя независимыми переменными. Общее решение этого уравнения в любой выпуклой области W плоскости дается Д'Аламбера формулой:

где fи g- произвольные функции.

Гиперболич. уравнение (6) при n=1 после неособой действительной замены переменных х ₀ и х ₁ приводится кнормальному (каноническом у) в иду

Для гиперболич. систем, записанных в виде (7), где (у), В (у).и С(у) - заданные действительные квадратные матрицы порядка N, F (у) - заданный, а и - искомый векторы с Nкомпонентами, Римана методом полностью исследован вопрос о корректности задачи Коши с начальными данными на нехарактеристической (свободной) кривой и Гурса задача с данными на двух пересекающихся характеристиках.

Основными задачами для гиперболич. уравнений являются: Коши задача, Коши характеристическая задача и смешанная задача (см. также Смешанная задача для гиперболического уравнения и системы).

При исследовании основных задач важную роль играют фундаментальные решения, к-рые позволяют получать различные (интегральные) представления регулярных и обобщенных решений и установить их структурные и качественные свойства, в частности изучить вопрос о фронте волны и распространении разрывов.

Уравнение (6) наз. ультрагиперболическим уравнением в области W, если в каждой точке все характеристич. числа матрицы а(x) отличны от нуля, причем по крайней мере два из них отличаются по знаку от всех остальных, число к-рых не ниже двух. Примером ультрагиперболич. уравнения является уравнение вида

к-рое обладает следующим свойством: если и( х, у) - регулярное решение уравнения (8) в области W. евклидова пространства переменных - произвольная точка W, то среднее значение функции вычисленное по сфере с центром в точке и радиуса r, равно среднему значению функции и( х*, у), вычисленному по сфере с центром в точке и того же радиуса г. Эта теорема широко применяется в теории линейных гиперболич. уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

Лит.:[1] Н a d a m a r d J., Le probleme de Cauchy, P., 1932; [2] Б e p с Л., Джон Ф., Ш е х т е р М., Уравнения с частными производными, пер. с англ., М., 1966; [3] Б и ц а д з е А. В., Уравнения смешанного типа, М., 1959; [4] его же, Уравнения математической физики, М., 1976; [5] Владимиров В. С., Уравнения математической физики, 2 изд., М., 1971; [6] Г е л ь ф а н д И. М., Шилов Г. Е., Обобщенные функции и действия над ними, 2 изд., М., 1959; [7] Г о р д и н г Л., Задачи Коши для гиперболических уравнений, пер. с англ., М., 1961; [8] Дезин А. А., "Матем. сб.", 1959, т. 49, М" 4, с. 459-84; [9] Курант Р., Уравнения с частными производными, пер. с англ., т. 2, М., 1964; [10] Ладыженская О. А., Смешанная задача для гиперболического уравнения, М., 1953; [11] Лере Ж., Гординг Л., Котаке Т., Задача Коши, пер. с франц., М., 1967; [12] Петровский И. Г., Лекции об уравнениях с частными производными, 3 изд., М., 1961; [13] Смирнов В. И., Курс высшей математики, 20 изд., т. 2, М., 1967; [14] Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, 4 изд., М., 1972; [15] Хёрмандер Л., Линейные дифференциальные операторы с частными производными, пер. с англ.. М., 1965. А. М. Нахушев.