ЛИНЕЙНАЯ ФОРМА ОТ ЛОГАРИФМОВ

Значение ЛИНЕЙНАЯ ФОРМА ОТ ЛОГАРИФМОВ в математической энциклопедии:

алгебраических чисел - выражение вида

Эффективные оценки снизу для |L| в предположении, что коэффициенты - рациональные или алгебраич. числа, а -фиксированные ветви логарифмов, линейно независимые над полем Q, играют большую роль в теории чисел.

Когда -рациональны, выполняется неравенство где B = max |B_i|, a c₁>0 и-зависит только от чисел a₁. . ., a_n. Методы, с помощью к-рых устанавливаются нетравиальные оценки снизу для |L|, принадлежат теории трансцендентных чисел. В случае n=2 ряд неравенств, справедливых для В, превосходящих нек-рую эффективно вычислимую границу, получен А. О. Гельфондом (1935-49). Лучшее из них имеет вид

В 1948 им же доказано, что при любом пдля всех достаточно больших Вимеет место неравенство Последний результат был, однако, лишь теоремой существования, а граница для В, начиная с к-рой выполнялось это неравенство, из доказательства не могла быть определена. Эффективные оценки |L| при любом n были получены в 1966 А. Бейкером (см. [2]) на основании метода Гельфонда.

Пусть - ненулевые алгебраич. числа, высоты и степени к-рых не превосходят соответственно Aи d,Пусть, далее, и - главные значения логарифмов. Если существуют целые рациональные b₁, ..., b_п, такие, что

то

В связи с различными задачами получено большое количество эффектных оценок Л. ф. от л. Степенная по порядку величины Воценка для |L| впервые была получена в 1968 Н. И. Фельдманом [3].

Пусть - алгебраич. числа, - фиксированные ветви логарифмов, линейно независимые над Q. Существуют эффективные постоянные такие, что для любых алгебраич. чисел b₀, b₁, ...,b_п, высота к-рых не превосходит В, имеет место неравенство

(постоянные с ₂ и явно выписываются в зависимости от чисел a₁. . ., a_n и степенен b₀, ..., b_n).

С помощью оценок Л. ф. от л. алгебраич. чисел найдены границы для решений различных классов диофантовых уравнений (уравнений Туэ, гиперэллиптич. уравнений, уравнений, задающих кривые рода I, и др.). Оценки Л. ф. от л. позволили определить границы для дискриминантов мнимых квадратичных полей с числом классов 1 и 2. В теории чисел применяются также р-адические аналоги теорем об оценках Л. ф. от л. алгебраич. чисел.

Лит.:[1] Г е л ь ф о н д А. О., Трансцендентные и алгебраические числа, М., 1952: [2] Baker A., в кн.: Actes du Congres International des Mathematiciens, [Nice], 1970, t. 1, P., 1971, p. 19-26; [3] Фельдман Н. И., "Матем. сб.", 1968, т. 77, KB 3, с. 423-36: [4] его же, "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1971, т. 35, № 5, с. 973-90; [5] Актуальные проблемы аналитической теории чисел, Минск, 1974. Ю. В. Нестеренко.