" 0 C F G H K L N P S T W Z А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Э Ю Я

ЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Значение ЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ в математической энциклопедии:

- система дифференциальных уравнений

где

- почти

периодические отображения; в координатной записи:

тде - почти периодич. числовые функции. Такие системы возникли в связи с появлением Бора почти периодических функций (см. [1]). Интерес к более узкому классу систем (A(t).и f(t) - квазипериодич. отображения) появился значительно раньше в связи с рассмотрением уравнений в вариациях вдоль условно периодич. решений уравнений небесной механики. Если однородная система

есть система с интегральной разделенностью (см. Интегральной разделенности условие), то она почти периодическим по t Ляпунова преобразованием x=L(t)yприводится к диагональной системе y = B(t)yс почти периодич. коэффициентами, т. е. к такой, что существует не зависящий от tбазис в состоящий из векторов, являющихся при каждом собственными

векторами оператора В(t);в координатах по этому базису система y=B(t)yзаписывается в диагональном виде:

Множество систем с интегральной разделенностью открыто в пространстве систем (2) с почти периодич. коэффициентами, наделенном метрикой

Имеет место следующая теорема. Пусть где причем собственные значения Свсе действительны и различны, - почти периодич. отображение Тогда найдется такое, что при всех e таких, что система (2) почти периодическим по tпреобразованием Ляпунова приводится к диагональной системе с почти периодич. коэффициентами.

Для почти периодич. отображения следующие четыре утверждения эквивалентны друг другу: 1) для всякого почти периодич. отображения у системы (1) найдется почти периодич. решение; 2) имеет место экспоненциальная дихотомия решений системы (2); 3) ни одна из систем где не имеет ненулевых ограниченных решений; 4) для всякого ограниченного отображения у системы (1) найдется ограниченное решение.

Лит.:[1] Бор Г., Почти периодические функции, пер. с нем., М.- Л., 1934; [2] F a v а г 4 J., Lecons sur les fonctions prcsque periodiques, P., 1933; [3] Е р у г и н Н. П., Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими и квазипериодическими коэффициентами, Минск, 1963; [4] Массера X.-Л., Шеффер X.-X., Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства, пер. с англ., М., 1970; [5] Мухамадиев Э., "Докл. АН СССР", 1971, т. 196, № 1, с. 47 - 49; [6] Итоги науки и техники. Математический анализ, т. 12, М., 1974, с. 71-146.

В. М. Миллионщиков.