" 0 C F G H K L N P S T W Z А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Э Ю Я

ЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Значение ЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ в математической энциклопедии:

- система плинейных дифференциальных уравнений вида

где t - действительная переменная, - комплекснозначные функции, причем

Число T>0 наз. периодом коэффициентов системы (1). Систему (1) удобно записывать в виде одного векторного уравнения

где

Предполагается, что функции определены для измеримы и интегрируемы по Лебегу на [0, Т]и почти всюду выполнены равенства (2), т. е. A(t+T)=A(t). Решение уравнения (3) - вектор-функция х=x(t).с абсолютно непрерывными компонентами такая, что (3) выполнено почти всюду. Пусть а - заданные (произвольно) число и вектор. Существует и определяется единственным образом решение x(t), удовлетворяющее условию x(t₀)=a. Матрица X(t).порядка пс абсолютно непрерывными элементами наз. матрицантом (или эволюционной матрицей, или Коши матрицей).уравнения (3), если почти всюду на выполняется равенство

где I - единичная -матрица. Матрицант X(t).удовлетворяет соотношению

Матрица X(Т).наз. матрицей монодромии, а ее собственные значения - мультипликаторами уравнения (3). Уравнение

для мультипликаторов наз. характеристическим уравнением уравнения (3) (системы (1)). Каждому собственному вектору матрицы монодромии с мультипликатором соответствует решение уравнения (3), удовлетворяющее условию

Имеет место теорема Флоке - Ляпунова: матрицант уравнения (3) с T-периодической матрицей A(t).представим в виде

где К - постоянная матрица, F (t) - периодическая с периодом Т, абсолютно непрерывная неособая для всех матрица-функция и F(Q)=I. Обратно: если F(t) и К - матрицы с указанными свойствами, то матрица (5) является матрицантом нек-рого уравнения (3) с T-периодической матрицей A(t). Матрица К, наз. показательной матрицей, и матрица-функция F(t).в представлении (5) определяются неоднозначно. В случае действительных коэффициентов в (5) X(t) - действительная матрица, a F(t).и К, вообще говоря,- комплексные матрицы. Для этого случая справедливо уточнение теоремы Флоке - Ляпунова: матрицант уравнения (3) с T-периодической действительной матрицей A(t).представим в виде (5), где К - постоянная действительная матрица, F(t) - действительная абсолютно непрерывная неособая для всех t матрица-функция, удовлетворяющие соотношениям

где L - некоторая действительная матрица такая, что

В частности, F(t+2T)=F(t). Обратно: если F(t), К, L - произвольные матрицы, обладающие указанными свойствами, то (5) - матрицант нек-рого уравнения (3) с T-периодической действительной матрицей A(t).

Из (5) сразу следует теорема Флоке, утверждающая, что уравнение (3) обладает фундаментальной системой решений, распадающейся на группы, каждая из к-рых имеет вид

где - абсолютно непрерывные T-периодические (вообще говоря, комплексные) вектор-функции. (Указанная группа решений соответствует одному ящику жордановой формы матрицы К.).Если все элементарные делители матрицы Кпростые (в частности, если все корни характеристич. уравнения (4) простые), то имеется фундаментальная система решений вида

Формула (5) означает приводимость уравнения (3) (см. Приводимая линейная система )к уравнению

посредством замены x=F(t)y(теорема Ляпунова).

Пусть - мультипликаторы уравнения (3) и К- произвольная показательная матрица, т. е.

Собственные значения l₁ . . ., l _п матрицы K наз. характеристическими показателями уравнения (3). Из (6) имеем п. Характеристич. показатель l можно определить так же, как комплексное число, для к-рого уравнение (3) имеет решение, представимое в виде

где и(t).есть T-периодическая вектор-функция. Основные свойства решений, к-рыми обычно интересуются в приложениях, определяются характеристич. показателями или мультипликаторами заданного уравнения (см. табл.). В приложениях часто коэффициенты системы (1) зависят от параметров; в пространстве параметров нужно выделить области, для точек к-рых решения системы (1) обладают определенными свойствами (обычно это - первые четыре свойства, указанные в таблице, либо справедливость оценки с заданным а). Эти задачи сводятся, таким образом, к вычислению или к оценке характеристич. показателей (мультипликаторов) системы (1).

Уравнение

где A(t), f(t) - измеримые, интегрируемые по Лебегу на [0, Т] T -периодические матрица-функция и вектор-функция соответственно (A(t+ T)=A(t), f(t+T) = f(t)

	Свойство решений	Характеристические показатели	Мультипликаторы
	Устойчивость тривиального решения (ограниченность на всех решений)	Действительные части неположительны; в случае наличия нулевых или чисто мнимых характеристических показателей им соответствуют простые элементарные Делители показательной матрицы	Расположены внутри или на единичной окружности; в последнем случае им соответствуют простые элементарные делители матрицы монодромии
	. Асимптотическая устойчивость тривиального решения при для любого решения)	Действительные части отрицательны	Расположены внутри единичной окружности
	Ограниченность всех решений на	Чисто мнимые с простыми элементарными делителями показательной матрицы	Расположены на единичной окружности, всем им отвечают простые элементарные делители матрицы монодромии
	Неустойчивость тривиального решения (наличие неограниченных на решений) Наличие Т-периодического решения	Имеется либо характеристический показатель с положительной действительной частью, либо чисто мнимый (в частности, нулевой) с непростым элементарным делителем показательной матрицы Для некоторого характеристического показателя lj выполнено (m- целое)	Имеется мультипликатор либо вне единичной окружности, либо на единичной окружности с непростым элементарным делителем матрицы монодромии Один из мультипликаторов равен единице
	Наличие полупериодического решения, т. <е. решения х(t), для которого +	Для некоторого характеристического показателя lj выполнено (т - целое)	Имеется мультипликатор

почти всюду), наз. неоднородным линейным дифференциальным уравнением с периодическими коэффициентами. Если соответствующее однородное уравнение

не. имеет T-периодических решений, то уравнение (7) имеет и притом единственное T-периодическое решение. Оно определяется формулой

где a Y(t) - матрицант однородного уравнения (8), при этом R(t+T, s) = R(t, s).

Пусть уравнение (8) имеет линейно независимых T-периодических решений Тогда сопряженное уравнение

имеет также dлинейно независимых T-периодических решений: Для того чтобы неоднородное уравнение (7) имело T-периодическое решение, необходимо и достаточно выполнения соотношений ортогональности

При выполнении (9) произвольное T-периодическое решение уравнения (7) имеет вид

где - произвольные числа, а - нек-рое T-периодическое решение уравнения (7). При дополнительных условиях

Т-периодическое решение х(t).определяется однозначно; при этом существует такая не зависящая от f(t).постоянная что

Пусть задано уравнение

с матричным коэффициентом, голоморфно зависящим от комплексного "малого" параметра

Пусть при сходится числовой ряд

где

что гарантирует сходимость (поэлементно) ряда (11) при в пространстве L(0, Т). Тогда матрицант

уравнения (10) для фиксированного есть аналитич. функция от е при Пусть A₀(t)= С - постоянная матрица с собственными значениями Пусть - мультипликаторы уравнения (10), Если _ - мультипликатор кратности r(h=h₁, . . ., h_r , h_j - некоторые числа из 1, 2,.. ., п), то

где т _h - целые числа. Если этому мультипликатору отвечают простые элементарные делители матрицы монодромии, или, иначе, если каждому отвечают простые элементарные делители матрицы С(напр., все числа различны), то наз. r-кратным характеристическим показателем (уравнения (10) при ) простого типа. Оказывается, что соответствующие г характеристич. показателей уравнения (10) с малым в первом приближении вычисляются весьма просто. Именно, пусть - соответствующие нор-

мированные собственные векторы матриц Си С*:

пусть

- ряд Фурье для A₁(t).и пусть

где т _j - числа из (12). Тогда для соответствующих r характеристич. показателей

уравнения (10), обращающихся в при справедливы разложения в ряды по дробным степеням начинающиеся с членов первого порядка:

где - корни (написанные столько раз, какова их кратность) уравнения

a q_h - натуральные числа, равные кратностям соответствующих при ). Если корень простой, то и соответствующая функция аналитична при e=0. Из формулы (13) следует, что возможны случаи, когда "невозмущенная" (т. е. с e=0) система устойчива (все чисто мнимы и им соответствуют простые элементарные делители), но "возмущенная" система (малое ) неустойчива ( хотя бы для одного ). Это явление потери устойчивости при сколь угодно малом периодич. изменении параметров (во времени) наз. параметрическим резонансом. Аналогичные, но более сложные формулы имеют место для характеристич. показателей непростого типа.

Пусть - различные мультипликаторы уравнения (3) и n₁, ..., n_q - их кратности, п ₁+...+n_q=n. Пусть точки на комплексной плоскости z окружены непересекающимися кругами и из точки z=0 в точку z=е проведен непересекающий эти круги разрез. С помощью этого разреза определяются ветви логарифма Пусть каждому мультипликатору сопоставлено произвольное целое число mи - матрицант уравнения (10). Матрица lnU("матричный логарифм") может быть определена формулой

где Г _j - окружность Набор чисел m₁, ..., m_q определяет ветвь матричного логарифма.. При этом exp(lnU)=Uдля малых Формула (14) при всевозможных m₁, ..., m_q не охватывает, вообще говоря, всех значений матричного логарифма, т. е. всех решений Zуравнения exp Z=U. Однако решение, даваемое формулой (14), обладает важным свойством голоморфности: элементы матрицы lnUв (14) суть голоморфные функции элементов матрицы U. Для уравнения (10) формула (5) принимает вид

где

Если

определяется согласно (14), то

- ряды, сходящиеся при малых |е|. Основная информация о поведении решений при к-рой обычно интересуются в приложениях, заключена в показательной матрице К(e). "Ниже описан метод асимптотич. интегрирования уравнения (10), т. е. метод последовательного определения коэффициентов K_j, F_j(t).в(16).

Пусть в (11) При этом, хотя вообще говоря, не существует ветви матричного логарифма такой, что матрица К(e).аналитична при e=0 и К(0)=С. Указанная ветвь логарифма будет существовать в так наз. не резонансном случае, когда среди собственных значений матрицы Снет чисел, для к-рых

(т - целое число). В резонансном случае (когда такие собственные значения существуют) уравнение (10) подходящей заменой x=P(t)y, где P(t+T) = P(t), сводится к аналогичному уравнению, для к-рого имеет место нерезонансный случай. Матрица P(t).определяется по матрице С.

В нерезонансном случае в (16) а матрицы F_j(t), K_j, j = 1, 2, . . ., находятся из уравнения

после приравнивания в этом уравнении коэффициентов при одинаковых степенях е. Для определения Z(t) = F_j(t).и L=K_j получается матричное уравнение вида

где Ф(t+T)=Ф(t). Матрицы Z(t).и Lнаходятся, и притом однозначно (нерезонансный случай), из (17) и условия периодичности Z(t+T)=Z(t).

Относительно специальных случаев системы (1) см. Гамильтонова система линейная, Хилла уравнение. Лит.:[1] Ш т о к а л о И. 3., Линейные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами, К., 1960; [2] Ер у г и и Н. П., Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими и квазипериодическими коэффициентами, Минск, 1963; [3] Я к у б о в и ч В. А., Старшинский В. М., Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения, М .,1972. В. А. Якубович.